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1、“复合函数”小议复合函数的概念，教材上并没有明确提出，但在各类习题中却时有复合函数的影子，这类题学生也较易出错，下面举例说明：例1.若函数yf (x)的定义域为a,b，且ba0， 则函数yf (xa)的定义域为( )A.2a,ab B.a,b C.0,b D.0,ba对于此题，学生多数误认为：既然函数yf(x)的定义域为a,b，即xa,b，那么就应有xa2a,ab，从而选A。实际上这是学生对于复合函数的概念不理解所致，整体看，函数yf(xa)是由外函数yf(u)与内函数ug(x)复合而成，最终是由x到y 的一个函数，故自变量只能为x，而u仅是一个中间的过渡元。由定义域是使函数有意义的所有自变量
2、的集合可知自变量x应使f(xa)有意义，所以对任意的x都应有xaa,b。进而可得x0,ba，答案应为D。类似的题目还有:例2.若函数f (x1)的定义域为2,3,则函数f (x)的定义域为( ) A.3,4 B.1,2 C.2,3 D.R由上面的分析可知：只要 x2,3，函数f (x1)就有意义，也就是说只要 x在区间3,4上取值，函数f (x)就有意义，同时，也只有x2,3，函数f (x1)才有意义，这就是说只有x在区间3,4上取值，f (x)才有意义，从而选A。但在资料上有一些题目，却有些不足之处，下面举例说明。例3、已知函数f (1)x2，求f(x)。解：设t1，则x(t1) 2 (t1
3、)，所以 f(t)f (1)x2(t1) 22 (t1) 22(t1)t 21 f(x)x 21 (x1)首先，由复合函数成立的条件，内函数的值域应为外函数的定义域的子集，但并不是说外函数的定义域就等于内函数的值域，所以满足此题的函数有无数多个，如函数f (x)x 21 (xD) 其中D满足1，） D都满足例3。有的资料注意到这个问题，就将题目改为：例4、已知函数f (1)x2 ，求f(x)的解析式。这样不涉及函数的定义域问题，似乎就比较严谨了，但满足此题的函数仍有无数多个，如函数：改变x1时的函数关系式就可得到无数多个满足条件的函数，实质上，由f (1)x2仅能得出当x1时一定有 f(x)x21，当x1时，函数有没有意义，解析式是什么则根本就无法确定。因此，这样的题只能误导学生，对学生正确地理解函数的概念非常不利。这种求外函数的解析式的题型应慎重选择，如：例5.若定义在R上的函数f (x)满足f (log2x)x，a是常数， 试求函数 f (x)。分析：此题中给出了函数的定义域为R，设tlog2x，t 的范围也是R，因此所求出的函数关系式是对于任意一个实数都成立的，从而所求结果唯一存在。由此例，我们就可在例3、例4的题目中通过增加条件来限定函数 f (x)的定义域，就可以唯一地确定答案了。
