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1、4.2空间图形的公理(二)【学习目标】1.掌握公理4及等角定理.2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角.预习新知I克实基础问题导学知识点一平行公理(公理4)思考在平面内，直线a,b,c,若a/b,b/c,则a/c.该结论在空间中是否成立?答案成立.梳理平行公理(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行.一a/b(2)符号表不：,7a/c.b/c知识点二空间两直线的位置关系思考在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？AB与 CD答案平行与相交.教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线
2、；六角螺母中直线梳理异面直线的概念(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.(3)判断两直线为异面直线的方法定义法；两直线既不平行也不相交.(4)空间两条直线的三种位置关系从是否有公共点的角度来分：平行,没有公共点1(电有且仅有一个公共点一一相交从是否共面的角度来分：,在同一平面内厂”小目交不同在任何一个平面内异圆知识点三等角定理思考观察图，在平行六面体ABCD-ABCD中，/ADC与/ADC,/ADC与/DAB的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案从图中可以看
3、出，/ADG=/ADC,/ADO/DAB=180.梳理等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补.知识点四异面直线所成的角思考在平行六面体ABCDABC珅，BC/AD,则“直线BC与直线BC所成的角”与“直线AD与直线BC所成的角”是否相等？QicS1答案相等.梳理异面直线所成角的定义定义前提两条异向直线a,b作法经过空间任一点O作直线a/a,b/b结论我们把a与b所成的锐角（或直角）叫作异面直线a与b所成的角（或夹角）范围记异向直线a与b所成的角为0,则0。W90.特殊情况当0=90时,a与b互相垂直，记作：ab.思考辨析判断正误1 .分别在两个平面内的两条直线一定
4、是异面直线.（X）2 .两直线若不是异面直线，则必相交或平行.（V）3 .若AB/AB,AC/AC,则/BAO/BAC.（x）启迪思维探究重点题型探究类型一公理4及等角定理的应用例1在正方体ABCD-ABCD中，E,F,E,F分另是ABBCAB,BC的中点，求证：EEFFF.考点平行公理题点判断、证明线线平行证明因为E,E分另是AB,AB的中点，所以BE/BE,且BE=BE.所以四边形EBBE是平行四边形，所以EEBBB,同理可证FFBBB.所以EE/FF.反思与感悟（1）空间两条直线平行的证明：定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点.利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条
5、直线平行.（2）“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能.跟踪训练1如图，已知在棱长为a的正方体ABCPABGD中，MN分别是棱CDAD的中与八、求证：（1）四边形MNAi是梯形;（2） / DN随 / DAC.考点空间等角定理题点判断、证明角的关系证明（1）如图，连接AC在ACDK.M,N分别是CDAD的中点,，MNACD勺中位线，1MIN/AC,MN=2AC由正方体的性质得AC/AiG,AC=AG.r1 .MN/AG,且MN=2AC,即MNtAC, 四边形MNA,是梯形.(2)由(1)可知MN/AG.又.ND/AD,DNMf/
6、DAC相等或互补.而/DNMf/DAG均为锐角， ./DNMt/DAG.类型二异面直线c是异面直线，则 a, c的位置关系是（B.相交或平行D.相交、平行或异面命题角度1异面直线的判定例2（1）若a,b是异面直线，b,A.异面C.平行或异面考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案D解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a,b异面，直线c的位置可如图所示.(2)如图，已知正方体ABC3ABCD.哪些棱所在直线与直线BA是异面直线?考点异面直线的判定题点异面直线的判定解由异面直线的定义可知，棱AD,DCCC,DD,DC,BC所在直线分别与直线BA是异面直线.反思与感悟判断两直线是否为
7、异面直线，只需判断它们是否相交、平行.只要既不相交，也不平行，就是异面直线.跟踪训练2(1)在四树tPABCW,各棱所在的直线互相异面的有对.考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案8解析与AB异面的有侧棱PD和PC同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线4X2=8().(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB,CDEF,GH四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？考点异面直线的判定题点异面直线的判定解还原的正方体如图所示.异面直线有三对，分别为AB与CDAB与GHEF与GH命题角度2求异面直线所成的角例3在空间四边形ABC珅，AB=CQ且AB与C
8、D所成锐角为30。，E,F分别为BCAD的中点，求EF与AB所成角的大小.考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角解如图所示，取AC的中点G连接EGFG,1贝UEG/AB且E&2AB1GF/CD且GF=CD由AB=CWE&FG从而可知/GE的EF与AB所成角，/EG越其补角为AB与CD所成角.AB与CD所成角为30。，./EGF=30或150,由E生FGAEF劭等腰三角形，当/EGF=30时，/GEa75,当/EGF=150时，/GEF=15,故EF与AB所成角的大小为15。或75。.反思与感悟(1)异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义
9、中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点.(2)求异面直线所成的角的一般步骤：作角：平移成相交直线.证明：用定义证明前一步的角为所求.计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围.跟踪训练3如图所示，在正方体ABCDABC。中，E,F分别为平面ABCD与AADD的中心，则EF与CD所成角的大小是.考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角答案450解析连接BD,则E为BD的中点，连接AB,则EF/AB,又CDAB所以/BAB为异面直线EF与CD所成的角，即/BAB=45。.检测评价达标过关达标检测1 .一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一
10、条的位置关系是（）A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案B解析如图，在正方体ABCD-AB1C1D中，AA与BC是异面直线，又AA/BB,AA/DD,显然BBABC=B,DD与BC是异面直线，故选B.2 .若OA/OA,OB/OB,且/AOB=130,则/AOB为（）A.130B,50C.130或50D.不能确定考点空间等角定理题点利用等角定理求角答案C解析根据定理，ZAOB与/AOB相等或互补，即/AOB=130或/AOB=50.3 .下列四个结论中错误的个数是（）垂直于同一直线的两条直线互相平行；平行于同一直线的两直线平行；若直线a,b,c满足
11、a/b,bc,则ac；若直线li,12是异面直线，则与li,12都相交的两条直线是异面直线.A.1B.2C.3D.4考点题点答案B解析均为错误结论.可举反例，如a,b,c三线两两垂直.如图甲所示，c,d与异面直线li,12交于四个点，此时c,d异面；当点A在直线11上运动（其余三点不动）时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c,d共面相交.甲乙4 .如图所示，G,H,MN分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GHMN异题点异面直线的判定答案解析中，:G,M是, .AG/BMAG=BM .GM/AB,GM=ARHN/ARHN=AR 四边形GHN陲平行四边形.GH/MN即G,H,M
12、N四点共面；中，:H,GN三点共面，且都在平面HGNft,而点M显然不在平面HGNft,HI,GMN四点不共面，即GHWMN#面；-，1中，:GM是中点，.GM/CDGM=2CD12 .GM/HNGM=gHN即GMNHb梯形,则GHMNM目交，H,G,MN四点共面;中，同，GH,MN四点不共面，即GMfMN面.5.如图所示，在正方体ABCD-ABCD中.(1)求AG与BC所成角的大小；(2)若E,F分别为AB,AD的中点，求AG与EF所成角的大小.考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角解(1)如图所示，连接AC,AB.由六面体ABCDABCD是正方体知，四边形AAC1C为平行四边形，AC/
13、AC,从而BC与AC所成的角就是AC与BC所成的角.在ABC中，由AB=AC=BC,可知/BCA=60,即A1G与BC所成的角为60。.(2)如图所示，连接BD由(1)知AC/AG,3 AC与EF所成的角就是AC与EF所成的角.EF是ABD勺中位线，EF/BD又ACLBDACLEF,z.EFAG,即A1G与EF所成的角为90。.L规律与方法)1 .判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.2 .在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的
14、思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为（0。，90。,解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小.作异面直线所成的角.可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：直接平移法（可利用图中已有的平行线）；中位线平移法；补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）.课时对注重双基强化落实一、选择题1 .如图所示，点P,QRS分别在正方体的四条棱上，并且是其所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是（）CD考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案C解析选项A,B中RSPQ平行；选项D中RS与PQffi交，故选C.2 .两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（）A.全等B.不相似C.仅有一个角相等D.相似考点空间等角定理题点判断、证明角的关系答案D解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.3 .已知
