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1、第一部分 专题四 数列求和及综合应用A组1 .设an的首项为ai,公差为一1的等差数列，S为其前n项和.若Si,&成等比数列，则ai=（ D ）A. 2B. - 2解析由题意知 S=a1, 9 = 2d 1, &=4a1 6,因为S, S2, S4成等比数列，所以 S2= S , 即（2 a1 1） 2= a1（4 a1 6）,1 ,解得a1= - 2.故选D.2.若数列an为等比数列，且 a1 = 1q= 2,则_11Tn=+aa2a2a3anHn+ 1等于（B ）A.2B. （1C.D. |（13解析因为 an=1X2nT=2nT, 所以 an an+1=20 1 , 2 n= 2 x 4
2、 n1所以;nXli,所以 anan + 124anan+ 1也是等比数列,111所以Tn=+ aa2a2a3anHn+ 11ix iT4211=3（1 4n），故选 B-43. （2018 烟台模拟）已知等差数列an中,a2=6, a5= 15,若 bn= a2n,则数列 bn的前5项和等于（C ）A. 30B.45C. 90D.186解析设an的公差为d,首项为a1,由题意得a+ d = 6,a1 + 4d= 15a1= 3,解得$ |d=3,以 an = 3n,所以bn=a2n=6n,且b1=6,公差为6,所以 &=5X6+ 5X6= 90.4 .等差数列a中，ai0,公差d0,公差 d
3、1,4d2是ai和a4的一个等比中项，a2和a3的等差中项为r -_、一 一*6,右数列 bn满足 bn= log 2an( nN).求数列an的通项公式;(2)求数列anbn的前n项和S.解析(I)因为4/是ai和a4的一个等比中项,所以 ai 24=(442)2=32.32 + 33 = 12.32 , a3 = 32, 由题意可得*因为q1,所以3332.32= 4 ,a3解得所以q = =2.33= 8.32故数列3n的通项公式3n=2n.(2)由于 bn= log 23n( n C N*),所以 3nbn= A - 2n, S=1 2 + 2 2 2+3 23+ (n-1) - 2
4、n 1 + n - 2n, 2s=1 2 2+2 2 3+ + (n1) 2 n+ n 2n+1.c 22 2 1 - 2n一得，一S=1 2+ 22+23+ 2n-n 2n+1=* 1 0n - 2n+1.1 2所以 $=2 2n+1 + n-2n+1=2+(n1)-2n+1.9 .(又)(2018 天津卷，18)设3n是等差数列，其前 n项和为S(nCN); bn是等比 数列，公比大于 0,其前 n 项和为 Tn(neN).已知 b1=1, b3 = b2+2, b4= 33+35, b5= 34+236.(1)求 S 和 Tn；(2)若&+(+ 丁2+ Tn)=3n+4bn,求正整数n的
5、值. 2.解析(1)设等比数列bn的公比为q,由b=1, b3=b2+2,可得qq 2=0.因为 q0,可得 q= 2,故 bn= 2n 1.1 2nn所以 Tn=TF=2n 1.1 2设等差数列3n的公差为d.由b4= 33+ 35,可得3l + 3d=4.由由=34+ 236,可得 331 + 13d= 16,从而 31=1,n n + 1d= 1,故 3n= n,所以 S=2-(2)由(1),知 T1 + T2+ Tn=(21+22+ + 2n) -n=2n+1-n-2.一 n n + 1由 G+(T1 + T2+ Tn) = 3n+ 4bn可付2+ 2 -n- 2=n+2 ,整理得n2
6、-3n-4= 0,解得n= 1(舍)，或n=4.所以n的值为4. ”.一 、 一* 一. . . . ,、，-.一_ *(理)(2018 天津卷，18)设a是等比数列，公比大于0,其前n项和为3(nCN),bn 是等差数列.已知 31= 1, 33= 32+ 2, 34=b3+b5, 35=b4+2b6.(1)求3n和bn的通项公式.、一、 _ 、， ,一 一、4 一 *(2)设数列3的前n项和为Tn( n C N),求Tn；V - - 2n + a的前 n 项和 Tn=( C ) E A 二 -/ n A N )证明一解析(1)设等比数列an的公比为q.由ai=1, a3=az+2,可得q2
7、q 2 = 0.因为q0,可得q=2,故an= 2nT.设等差数列bn的公差为 d,由a4=b3+b5,可得bi +3d = 4.由a5=tk+2b6,可得3b + 13d=16,从而 bi = 1, d = 1,故 bn= n.k-i) =所以数列an的通项公式为an=2nT,数列bn的通项公式为bn=n.(2)由(i),有 Sn=- = 2一 i,故 Tn= X (2 2k=iZ2k-n=2&,则下列不等关系不一定成立的是(D )A. 2a33a4B. 5a5a +6a6C. a5 + a4 a30D. a3 + a6 + a122a7解析 依题意得 a6= S6 S50,2 a33a4； 5a5 (a1 + 6a6) = 5( a + 4d) ai 6( a + 5d) = 2( a1 + 5d) = 2a60,5 a5a1 + 6a6; as+ a4 a3= (a3+ a6) a3= a60.综上所述，故选
