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1、巧解圆中的最值问题 求最值是常用的数学问题,几何最值又是各地中考中的热门话题.随着直线型问题逐渐被我们熟悉，圆中的最值问题也走进了我们的视野. 基本模型 如图1、2,平面内有一定点和一动点,点的运动轨迹是圆,连结并延长,分别交圆于两点,则为的最小值,为的最大值,即最小值为，最大值为. 类型 定点定长定圆例1 如图3,在中，,将绕顶点顺时针旋转,得到,分别是的中点，连结,则旋转时长度的最大值是（ ).(A) () (C) () 分析连结，点是定点,点是动点，欲求长度的最大值，就得懂得的运动轨迹.在这里，可以运用点是斜边的中点,得出是定值，到定点的距离等于定值，由圆的定义可以联想到运动轨迹是圆.再
2、结合基本模型，可以得出长度的最大值为，因此选D. 例 (宁波考纲)如图4,二次函数的图象交轴于点,交轴于点,过,画直线，并连结. (1)求二次函数的解析式和直线的解析式 (2）点是线段上的一点，过点作内接正方形，使得边落在轴上,点在上,交轴于点 求该正方形的边长; 将线段延长,交抛物线于点，那么点是的中点吗?请阐明理由. ()在（2)的条件下,将线段绕点旋转,在旋转的过程中,点始终为的中点,请直接写出线段的最大值分析 (1)二次函数解析式为直线解析式为(）,不是；（3）本题中,是定点,是动点,取的中点，连结，由题意，得因此的运动轨迹是一种觉得圆心，为半径的圆,因此的最大值为类型2 定线定角定圆
3、例 (宁波考纲)如图,在等腰中，点为等腰所在平面内一点，且满足，则的取值范畴为 . 分析 根据条件可知线段是定值，且所对的张角是定值,根据同弧所对的圆周角相等可知，动点的运动轨迹在过点三点的圆周上(不与重叠). 又由于，因此正好是直径。连结并延长交圆分别为,故最小,最大，因此的取值范畴为 例4 (武汉中考题)如图6，、是正方形的边上两个动点，满足，连结交于点，连结交于点。若正方形的边长为2,则线段长度的最小值是 。 分析在拟定动点的轨迹时，需要我们先去证明。由于,易证，得到,由正方形对称性可知,得到，因此 再考虑到、是边上两个动点,因此动点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆，连接,故可求得长度的
4、最小值是. 例5(宁波考纲)如图7,半径为 , 的顶点,在上,，点在内，且,当点在圆上运动时,的最小值为( )(A) （B） (C) (D） 分析 是定点，是动点，拟定点的运动轨迹是本题的难点.延长交圆于点，连结并延长,交圆于点，连结. 由于，所觉得定值，即为定值. 由于半径为，因此，符合定线定角定圆这种类型,故点的运动轨迹是过三点的圆弧且在内部. 不妨设圆心为，连结,由于因此易得所觉得直角三角形,且由于因此因此最小值为例6 （宁波考纲）边长为的等边的顶点在轴的正半轴上移动,顶点在射线上移动,则顶点到原点的最大距离为 分析 此题定点是点,动点是点，尽管是拟定的,但由于点都是在动的,故拟定点的运动轨迹时难度仍较大. 不妨换个角度来看问题，正难则反，把合法作是不动的，此时平面直角坐标系在动，原点在运动时满足，而所对的边是不变的,符合定线定角定圆这种类型,因此点的运动轨迹是过点三点的圆弧(优弧上)，取圆心，连结 由于，因此, 即是边长为2的正三角形,.连结并延长，交圆于点，此时最大,最大值为 从上面的几种例子中可以发现,模型中难度最大的就是如何判断动点的运动轨迹是一种圆.尽管不外乎运用定点定长和定线定角来定圆这两种类型,但在实际的解题过程中，会遇到多种困难，这时就需要我们运用题目的已知条件,挖掘潜在的结论，把隐藏在里面的圆还原出来.
