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1、数学讲义高阶等差数列学生姓名教师姓名授课日期授课时长一知识定位/等差数列是数列问题中最为基本的一种情况。进一步，我们可以对等差数列进行推广，得到 高阶等差数列。这在竞赛中也是非常常见的。本节课将介绍高阶等差数列的相关内容。知识梳理1、给一个数列k ，将其相邻两项的差求出，得到一列新数列: na2 -a1,a3 -a2,an+1 -an，这个数列称之为原数列源的_阶差分数列匕j_ 。匕n +【nn2、将一阶差分数列记为b ，再求出X 相邻两项的差，得到新数列: nnb2-,b3-b2b +1 -b 此数列为七的一阶差分数列，我们也称之为原 数列k 的二阶差分数列。n类似可定义数列k 的p阶差分数
2、列，差分数列也可以叫做差数列。n3、如果一个p阶差分数列是一列非零常数列，则称此数列为p阶等差数列，我们 通常所谓的等差数列其实就是一阶差数列。二阶及二阶以上的等差数列，统称为高阶等差数列对于高阶等差数列有如下性质：1. 如果数列kJ是p阶等差数列，那么?的一阶差数列是p -1阶等差数列；2数列是p阶等差数列的充要条件是：数列“的通项是关于n的p次多项式.3. 数列为p阶等差数列，那么其前n项和是关于n的p +1次多项式。4. U k是一个关于:的i+1次多项式.k=1注：1是显然的，4是2与3的推论，而2与3可以用数学归纳法证明。高阶等差数列中最重要也是最常见的问题是求通项与前项和，更进一步
3、的问题是差分方 程的求解。解决问题的基本方法有：1. 逐差法：其出发点是气=a1 + 习、+1 -Ck=12. 待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项气 与前n项和Sn就是确定次数的多 项式，先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程即得。3. 裂项相消法：出发点是a可以写成a = f (n +1) - f (n).nn进一步，我们实际上可以把上述数列差分的思想推广到函数上。我们设f (X是定义在 上的函数，定义f (X)的一阶差分函数：Af (x) = f (X +1) - f (x).类似地，我们可以定义二阶差分函数：A 2f (x) = Af (X +1)-Af (x) = (f (X
4、 + 2) - f (X + 1)-(f (X +1) - f (x).依次，我们可以得到P阶差分函数Apf (x).关于p阶差分函数，利用数学归纳法，我们有 以下定理：定理1设f (x)是定义在上的函数，那么：Apf (x) = X (-1)p-C f (x + i)=X (-1)iCif (x + p - i). ppi=0i=0(例题精讲例1：【试题来源】【题目】设数列坷是一个三阶等差数列，其前面的若干项为1,2,8,22,47,86,，求这个数列的通项公式。.【难度系数】3例2：【试题来源】【题目】数列何的二阶差数列各项均为16,且a/ 命=10，求【难度系数】351例3：【试题来源】
5、【题目】求和：S = k（k + 2）（k +1）2.k=1【难度系数】3 例4：【试题来源】【题目】已知整数列a 适合条件： n（1）a = 3a . -3a + a ., n = 2,3,4,，（2）2a = a + a - 2 ，（3）a -a = 9, a= 1.求数列的前n项之和Sn .【难度系数】4例5：【试题来源】【题目】数列a 的二阶等差数列是等比数列，且a = 5, a = 6, a = 9, a = 16.求a 的通n1234n项公式。【难度系数】4例6：【试题来源】【题目】设a a a 为实数，数列a , a , , a 构成一个长为m的弱等差数列， 12m12m即：存在
6、实数X , X , ；% 和d，使得x a X a x a x ，且对任意01m01122m m的 0 i m -1，均有：x - x. = d . （1） 证明：若a a 这里x (x -1) (x k +1)=，它被称为k次差分多项式，其中k!=1.【难度系数】4 例8：【试题来源】【题目】设数列(a.)是一个p阶等差数列，其通项公式为。广f (n)，这里f (x)是个p次多项式，证明： 乙=8 Ck+】 kf (0).并由此给出乎m3的公式。m=1 k=0 Im=1【适用场合】当堂例题【难度系数】4 例9：【试题来源】【题目】实系数多项式f (x) = xn + a1 xn-1 + a2
7、 xn -2 + a ，证明：在数f(1)|,|f(2)|,|f (n +1)【难度系数】4.中必有一个数不小于二L2 n例10：【试题来源】【题目】对非负整数N，用u (N)表示N在二进制表示下数码1出现的次数(例如u(10) = 2，因为在二进制表示下10 = (1010)，用deg p(x)表示多项式p(x)的次数。证明：Vk e N*，都有：2夕(-1)， p(i)= 0,若 deg p (x) k;/k (k-1)i=0(-1)k a k ! 2 2 ,若 deg p (x) = k.这里a为p(x)的首项系数。【难度系数】5例11【试题来源】【题目】设气, 是两个数列，证明下面的二
8、项式反演公式：VngN* ,都有a = Cib 的充要条件是Vn gN* ，都有n =况(一1)-k Cka. k=0k=0【难度系数】5习题演练1.【试题来源】【题目】一个三阶等差数列a 的前4项依次为30、72、140、240，求其通项公式。n【难度系数】32.【试题来源】【题目】求证：二阶等差数列的通项公式为1a a + (n 1)(a a )+ (n 1)(n 2)(a 2a + a ). n 1212321【难度系数】33.【试题来源】【题目】求数列1,3+5+7,9+11+13+15+17，的通项。【难度系数】34.【试题来源】【题目】设有边长为1米的正方形纸一张，若将这张纸剪成一
9、边长为别为1厘米、3厘米、(2n-1)厘米的正方形，愉好是n个而不剩余纸，这可能吗？【难度系数】35.【试题来源】【题目】对于任一实数序列A = a ,a ,a , ，定义DA 为序列a a ,a a , ，它的第n项)2、32132为a +1 a，假设序列D(da)的所有项均为1，且。冷a92 0,求a【难度系数】36.【试题来源】【题目】若数列七的一阶差数列为公比是q （q。1）的等比数列，求证:【难度系数】37.【试题来源】【题目】求和：S =Y k2ak （a。1）. nk =1【难度系数】48.【试题来源】【题目】把正奇数按下表排列:137132131591523111725192729并把从上到下数第m行，从左到右数第n列的数记为amn，求数列am1）, a%【难度系数】4的通项。9.【试题来源】【题目】已知an的首项a1 = 4，一阶差数列为n 2求a 的通项。n【难度系数】310.【试题来源】第10届IMO试题【题目】设表示不超过实数x的最大整数，试对任意正整数n，求和：*k=0【难度系数】5n + 2k2k+1
