输油管线布置的优设计数学建模

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1、(2010年题全国一等奖）输油管线布置的最优设计摘 要我国是能源消耗大国,石油输油管的建设是一个投资巨大的工程，优化输油管线的铺设可以节约成本，具有十分明显的经济意义。本文针对铁路线一侧两炼油厂及铁路线上增建一个车站，考虑油管的布置问题,利用函数偏导求极值和数学软件matla、lngo的计算机优化模拟，建立了管线建设费用最省的一般数学模型与方法。问题一,针对两炼油厂到铁路线距离、和两炼油厂间距离的各种不同情形，得出管线建设费用最省时交汇点E的坐标（x，y)关于a、b、的普遍关系式：这种模式具有一定的普遍性。 问题二，由问题一模型的延伸,在城区引入合理附加费21。6万元/千米，综合实际情况后以总

2、费用最省为目标建立模型,用lin软件模拟结果得：当两厂管线交汇点E位于(5。45,1.8）时,管线建设费用最省为2249万元,管线建设的总线长为24。21千米，同时也得出了此种情形下的各段管线的相关参数。问题三，在该实际问题中，为进一步节省费用，各段管线的单位造价可根据自身生产能力造来选择，综合实际情况后以总费用最省为目标建立模型,用ing软件模拟结果得：当两厂管线交汇点E位于（6。73,.138)时,管线建设费用最省为2177万元，管线建设的总线长为24.42千米，同时也得出了此种情形下的各段管线的相关参数。这类模型解决了输油管的布置的问题,具有一定的推广性，还可以解决一些像煤气管线、自来水

3、管线、污水管道线，电力电缆的铺设设计等.关键词:输油管线布置 优化模型 二元函数极值 / 一、 问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油.由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案.在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形.2.设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计.两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区(图中的区域），B厂位于城区（图中的I区域),两个区域的分界线用图中的虚

4、线表示.图中各字母表示的距离（单位：千米)分别为a = ,b=8,c 5, = 。若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计,聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质,公司二和公司三具有乙级资质)进行了估算.估算结果如下表所示:工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用（万元/千米）14请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。3在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5。万元,输送B厂成品油的每千米6。万元，共用管线费用为每千米7。

5、2万元，拆迁等附加费用同上.请给出管线最佳布置方案及相应的费用。二、 问题分析我国处于迅速发展时期，是能源消耗大国，能源建设项目众多,进行最优配置设计对节约成本来讲数目十分可观.输油管优化布置方案设计降低了建设成本，具有现实意义。本题要解决的是如何设计管线铺设使得总费用最省，围绕输油管线最优设计、总费用最小得原则，对A，B炼油厂和车站位置进行分析求解.对于问题一,考虑到两炼油厂和车站的地址可以在铁路线的一侧任意选择,且它们所在区域看作近似一个平面,可以通过建立坐标系将其转变为数学模型，定义A、两厂和车站，通过计算管线总长的中间量，求总管线费用，以管线建设费用最省为目标建立优化模型，进行求解,在

6、通过偏导方法对模型进行深一步的分析，或通过数学软件优化,进一步分析在两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形。问题二，际上是问题一的延伸，可以在问题一的模型上改进。对于三个咨询公司给出的评估数据，可以直接取用，带有一点的主观性，为了数据取样更有说服力，采用了对三个咨询公司给出的评估数加权平均值，通过矩阵求解得到更合理的数值。根据题中给出情形,构造两点间距离公式，得出目标函数,利用lingo软件进行函数最小优化，求出管线建设费用最少方案。对于问题三，实际是更一般性的模型，也可以如同问题二一样求解。符号说明:表示管线建设费用；:表示A厂位于坐标系中的位置；:表示A厂到铁路线的垂直距离，即

7、A点的纵坐标;B：表示B厂位于坐标系中的位置;:表示A、B两厂沿着铁路的距离，即点的横坐标；b：表示B厂到铁路线的垂直距离，即B点的纵坐标;E：表示A、B两厂输油管的汇集点,坐标用（x,y）表示；F1：表示管线与城区分界线的交点，坐标为（5,y2）;S:表示管线的总长；：表示A厂非公用管线费用;：表示公用管线费用；：表示铺设在城区管线的附加费用；:表示B厂非公用管线费用;K:表示铁路线上的车站，坐标为（xS，0)。三、 模型假设1、 将所考虑的区域近似看作一个平面;2、 两个炼油厂和车站均近似看作为平面上的点，分别用点、K表示；3、 在所考虑的区域内铁路线为直线CD，新建车站可以在铁路线的任意

8、位置；4、 两个炼油厂的地址可以在铁路线的一侧任意选择；5、 不考虑自然条件的制约,假设区域内任意两点之间均可以以直线连接;6、 假设聘请的三家咨询公司估计出来的数值可信.7、 假设不考虑管线铺设费用由谁分担，只考虑铺设管线总费用最少；8、假设设计输油管线铺设不受自然人为因素的制约，可以理想地铺设;、假设设计方案只考虑共用管线和非共用管线铺设的费用,不考虑技术或其他方面的问题；四、 模型的建立与求解问题一:根据假设1和，以铁路线CD为X轴，以炼油厂A到X轴的垂线作Y轴，建立平面直角坐标系（如图所示)：A炼油厂的坐标为（0，a），B炼油厂的坐标为（l,b)(不妨设b），、B两厂管道线汇合点E的坐

9、标为(x，y),表示车站，容易知道，只有在EK垂直于X轴时的长度最短，所以K的坐标为（，0). 图看图分析可知，管道线的总长： （一） 假设非共用管线的费用和共用管线费用相等，同为P（P)）,那么，当S最小时，总费用最小.现在以总费用为目标函数,以x，为决策变量,建立数学模型： 约束条件: 问题归结为:在指定区域内，当x、y为何值时，取得最小值。令和,化简后得: （1） （2）即：解此方程得 这是过（，a）且倾斜角为15度和度的两条直线再由（1)代入上式,得 所以 即 ： 这是过点(，b）,倾斜角为30度和度的两条直线。根据本题的求最小值的要求，取 和 两条直线的交点,即：两管道线汇合点E的坐

10、标为（，y）是 （3)， 解得: (）即管线建设费用最省时交汇点E的坐标（,y）是关于a,b，的函数.再将它们代入约束条件： 得: ， （)也就是说: 当A、B两厂之间的位置符合上述条件(）的时候,管道的铺设线路如图1所示,且两管道线汇合点E的坐标为（， ）。如果A 、B两厂之间的位置不符合上述条件（5）,那么的坐标需要根据具体情况确定:若 即 时 也就是,两厂之间的横向距离很小，而两厂与铁路线的距离相差比较大的时候,比如 通过lingo求得两管道线汇合点E的坐标近似为(0，1）。事实上,当由(4)算出的x时，管道长度肯定大（斜边大于直角边），如图2 图2因此目标函数的最小值只能在=0时取得。

11、当x=0时，目标函数化为 通过分析和计算，当时，Z最小，所以，当 时,两管道线汇合点E的坐标为（，）。 若即时,也就是，两厂之间的横向距离比较大，而两厂与铁路线的距离都比较近的时候，比如 。由(）算出的y0,而管线没有必要铺到铁路线的另一侧（如图3)，所以令y=0是合理的。 图3此时的目标函数为：，运用求一元函数极值的方法可以算得，当 时Z最小。所以，当时，两管道线汇合点的坐标为(，）（二） 设非共用管线的费用和共用管线费用不相等，目标函数为:约束条件： 问题同样归结为:在指定区域内,当x、y为何值时，取得最小值。运用Matla软件求Z关于x，y的两个偏导数，并令它们等于零,再用Matab软件

12、解方程组(程序见附件),得x、y如下：化简后，得 （4） 可见,在，p2已确定时，管线建设费用最省时交汇点E的坐标(，y)也仅是关于a,l的函数。 令= ,则两管道线汇合点E的坐标为: （）再将(6）代入约束条件： 得：, （7)也就是说: 当、B两厂之间的位置符合上述条件(7）的时候，管道的铺设线路如图1所示，且两管道线汇合点的坐标为 其中 =。如果A 、两厂之间的位置不符合上述条件（7），那么E的坐标还需要根据具体情况确定。 若 时 ， 因此目标函数的最小值只能在=0时取得，当x=0时，在时,目标函数Z最小。所以，当时,两管道线汇合点E的坐标为(0，）。若 这时y0,所以还是在=0时管道最

13、短,这时，运用求一元函数极值的方法可以算得，当时最小.即，当时，两管道线汇合点E的坐标为(,0）结论:通过比较可以看出,管线建设费用最省时交汇点的坐标（，y）是关于a,b，l的函数。非共用管线的费用和共用管线费用不相等时所建立的模型及其结果,包含了这种模型及其结果，因而模型是模型的特例， 这种模式更具有普遍性。问题二：问题中两炼油厂的具体位置，A厂位于郊区(区域）,B厂位于城区(I区域），两个区域的分界线垂直与铁路线。介入了一个铺设在城区管线需增加拆迁和工程补偿等附加费用,在设计方案时应该考虑管线在B城区线路和附加费用。题中给出了三家工程咨询公司对附加费用进行估计.得到的估算结果如下:工程咨询

14、公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米)21220本方案要中管线布置方案需要建立模型进行优化，相应的附加费用要针对三家公司给出的附加费用再一次权重评估，设为p万元/千米。（一)附加费用权重评估通过比较矩阵和权向量方法对三个公司给出来的估计附加费用进行比较和权重，得到更贴近实际的附加费用值。公司一具有甲级资质，资质高说明技术含量高一些,估计的结果准确性更高，公司二和公司三具有乙级资质,也有一定的资质，所有三个公司的赋值比是7:3：3，根据赋值得到矩阵 (8)利用MATB求解（求解过程见附件2)得最大特征根3。00，一致性指标： （）随机一致性指标 R=08（查表)，一致性比率=0/.58=00。1;A的不一致程度在容许范围内，可用其特征向量作为权向量,通过了一致性检验。 根据三个公司的资质得出三个公司的权重分别为：（53847123 0.230764874 0.30764874