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1、直线与椭圆的综合问题检测题与详解答案A级保大分专练1(2019长春二检)椭圆4x29y2144内有一点P(3,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为()ABC D解析：选A设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x9y144,4x9y144，两式相减得4(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0，又x1x26，y1y24，k，代入解得k.2已知直线yx1与椭圆1(ab0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是()A BC D2解析：选B由条件知c1，e，所以a，b1，椭圆方程为y21，联立直线方程与椭圆方程可得交
2、点坐标为(0,1)，所以|AB|.3斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2 BC D解析：选C设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|，当t0时，|AB|max.4(2019石家庄质检)倾斜角为的直线经过椭圆1(ab0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且2，则该椭圆的离心率为()A BC D解析：选B由题可知，直线的方程为yxc，与椭圆方程联立得(b2a2)y22b2cyb40，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则0.设A(x1，
3、y1)，B(x2，y2)，则又2，(cx1，y1)2(x2c，y2)， y12y2，可得，e，故选B.5已知点P是椭圆1上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是F1PF2的平分线上一点，且0，则|的取值范围是()A0,3)B(0,2)C2，3) D(0,4解析：选B如图，延长F1M交PF2的延长线于点G.0，.又MP为F1PF2的平分线，|PF1|PG|，且M为F1G的中点O为F1F2中点，OM綊F2G.|F2G|PF2|PG|PF1|PF2|，|2a2|PF2|4|PF2|.42|PF2|4或4|PF2|42，|(0,2)6已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的
4、两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|3，则椭圆C的标准方程为_解析：由题意知椭圆C的焦点在x轴上，且c1，可设椭圆C的方程为1(a1)，由|AB|3，知点在椭圆上，代入椭圆方程得4a417a240，所以a24或a2(舍去)故椭圆C的标准方程为1.答案：17已知焦点在x轴上的椭圆C：y21(a0)，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|1，则该椭圆的离心率为_解析：因为椭圆y21(a0)的焦点在x轴上，所以c，又过右焦点且垂直于x轴的直线为xc，将其代入椭圆方程中，得y21，则y ，又|AB|1，所以21，得，所以该椭圆的离心率e.答案：8已知P(
5、1,1)为椭圆1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为_解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则1，1，得0，x1x22，y1y22，y1y20，k.此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.答案：x2y309(2019湖北武汉部分学校调研)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21(a1，aR)上，过O的直线交椭圆C于A，B两点，F为椭圆C的左焦点(1)若FAB的面积的最大值为1，求a的值；(2)若直线MA，MB的斜率乘积等于，求椭圆C的离心率解：(1)因为SFAB|OF|yAyB|OF|1，所以a.(2
6、)由题意可设A(x0，y0)，B(x0，y0)，M(x，y)，则y21，y1，kMAkMB，所以a23，所以a，所以c，所以椭圆C的离心率e.10(2019成都一诊)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程解：(1)由题可知c，2，a2b2c2，a2，b1.椭圆C的方程为y21.(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时，不合题意当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为xmy1，M(x1，y1)，N(x2，
7、y2)联立消去x，可得(4m2)y22my30.16m2480，y1y2，y1y2.点B在以MN为直径的圆上，0.(my11，y11)(my21，y21)(m21)y1y2(m1)(y1y2)20，(m21)(m1)20，整理，得3m22m50，解得m1或m.直线l的方程为xy10或3x5y30.B级创高分自选1已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|2，F1AF260，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点(1)求椭圆C的方程；(2)已知点M，且MNPQ，求线段MN所在的直线方程解：(1)由e，得a2c，易知|
8、AF1|2，|AF2|2a2，由余弦定理，得|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|cos A|F1F2|2，即4(2a2)222(2a2)a2，解得a2，则c1，b2a2c23，椭圆C的方程为1.(2)设直线l的方程为yk(x1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立整理得(34k2)x28k2x4k2120，则x1x2，y1y2k(x1x2)2k，N.又M，则kMN.MNPQ，kMN，得k或，则kMN2或kMN，故直线MN的方程为16x8y10或16x24y30.2(2019唐山五校联考)在直角坐标系xOy中，长为1的线段的两端点C，D分别在x轴，y轴上滑动， .记点P的轨迹为曲线
9、E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0,1)作直线l与曲线E相交于A，B两点，当点M在曲线E上时，求直线l的方程解：(1)设C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)由 ，得(xm，y)(x，ny)，所以得由|1，得m2n2(1)2，所以(1)2x2y2(1)2，整理，得曲线E的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知点M的坐标为(x1x2，y1y2)易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx1，代入曲线E的方程，得(k22)x22kx10，则x1x2，所以y1y2k(x1x2)2.由点M在曲线E上，知(x1x2)21，即1，解得k22，即k，此时直线l的方程为yx1.
