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1、1. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC(除B、C外)边上任意一点，ZAEF = 90, 且EF交正方形外角ZDCG的平分线CF于点F,(1)若ZBAE=a,求ZCFE的大小(用含有a的式子表示)；2)求证： AE=EF2. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，点E在CB边的延长线上，过点E作AE的垂线交正方形外 角ZDCG的平分线CF于点F，(1) 求ZEAF的度数；(2) 用等式表示线段BE与CF之间的数量关系，并证明。3. (2018)如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A, B重合)，连接DE,点A关于直线DE 的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连
2、接DG，过点E作EH丄DE交DG的延长线于点H, 连接 BH.(1) 求证:GF=GC;(2) 用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明.28.在边长为5的正方形ABCD中，点E, F分别是BC, DC边上的两个动点（不与点B, C, D重合），且AE丄EF.（ 1）如图 1，当 BE = 2 时，求 FC 的长；（2）延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P. 依题意将图2补全； 小京通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有E=PE.小京把这个猜想 与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的三种想法：想法1：在AB上截取AG=EC,连接EG,要证AE=PE,需证AGd E
3、CP.想法2：作点A关于BC的对称点H,连接BH, CH, EH.要证AE=PE, 需证AEHP为等腰三角形.想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转90,得到线段BM,连接CM, EM,要证AE=PE,需证四边形MCPE为平行四边形.请你参考上面的想法，帮助小京证明AE=PE.（一种方法即可）图1图2（2017 顺义一模）28.在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点.（1）如图1,若AB=1, DG=2,求BH的长；（2）如图 2， 连接 AH， GHF图1图2小宇观察图2,提出猜想:AH=GH, AH丄GH.小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形 成
4、了证明该猜想的几种想法：想法1:延长AH交EF于点M,连接AG, GM,要证明结论成立只需证AGAM是等腰直角三角 形；想法2:连接AC, GE分别交BF于点M, N,要证明结论成立只需证AAMHAHNG.请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH=GH, AH丄GH.（一种方法即可）23请阅读下列材料：问题：如图1 ,在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A, B, E在同一条直线上，P是线段DF的中 PG点，连结PG, PC .若ZABC = ZBEF = 60，探究PG与PC的位置关系及 的值.PC小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的
5、思路,探究并解决下列问题：PG（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及-的值；-L X-/（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD 的边 AB 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变（如图 2）你在（1）中得到的两个结论是 否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）若图1中ZABC = /BEF二2a （0 a 90），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,OO原问题中的其他条件不变,请你直接写出PGPC的值（用含a的式子表示）.13.已知：如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F, 连接DF, G为DF
6、中点，连接EG, CG.（1）求证： EG=CG；（2）将图中ABEF绕B点逆时针旋转45,如图所示，取DF中点G,连接EG，06.问（1）中 的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（3）将图中ABEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否 仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）图图14.已知：ABC和厶ADE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90，点M是CE的中点，连接BM.（1）如图，点D在AB上，连接DM,并延长DM交BC于点N,可探究得出BD与BM的数量关系为；（2）如图，点D不在AB 上, （1）中的结论还成
7、立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理 由.圈團15.已知：ABC 和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC, DA=DE,联结EC,取EC 的中点M,联结BM和DM.(1)如图 1，如果点 D、E 分别在边 AC、AB 上，那么 BM、DM 的数量关系与位置关系是;(2)将图1中的AADE绕点A旋转到图2的位置时，判断(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由.(2016 西城一模)28.在正方形ABCD中，点P是射线CB上一个动点，连接PA , PD ,点M , N分别为BC , AP的中点，连接MN交PD于点Q .(1) 如图1,当点P与点B重合时，AQPM的形状是.(2)
8、当点P在线段CB的延长线上时，如图2. 依题意补全图 2； 判断AQPM的形状，并加以证明；(3)点P与点P关于直线AB对称，且点P在线段BC上,连接AP，若点Q恰好在直线AP 上,正方形ABCD的边长为2,请写出求此时BP长的思路.(可以不写出计算结果)图1图2图3(2016 石景山一模)28.在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接BE.(1) 请你在图1画出ABEM,使得ABEM与厶BEC关于直线BE对称；(2) 若边AD上存在一点F,使得AF+CE=EF，请你在图2中探究ZABF与ZCBE的数量关系并证明；(3) 在(2)的条件下，若点E为边CD的三等分点，且CEDE,请写出求 co
9、sZFED的思路.(可以不写出计算结果).图1图2备用图（2017 石景山一模）28.在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的动点（与点A , C不重合），连接BE .（1）将射线BE绕点B顺时针旋转45,交直线AC于点F . 依题意补全图1； 小研通过观察、实验，发现线段AE，FC，EF存在以下数量关系：AE与FC的平方和等于EF的平方.小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：想法1：将线段BF绕点B逆时针旋转90,得到线段BM ,要证AE， FC , EF的关系，只需证AE，AM , EM的关系.想法2 :将ABE沿BE翻折，得到HNBE，要证AE，FC，EF的
10、关系， 只需证EN，FN，EF的关系.请你参考上面的想法，用等式表示线段AE，FC，EF的数量关系并证明； （一种方法即可）（2）如图2,若将直线BE绕点B顺时针旋转135 ,交直线AC于点F .小研完成作 图后，发现直线AC上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平 方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系.(2018 西城一模)27正方形ABCD的边长为2.将射线AB绕点A顺时针旋转所得射线与线段BD交于点M,作CE 丄AM于点E,点N与点M关于直线CE对称，连接CN.(1) 如图 1,当 0sv45。时， 依题意补全图 1； 用等式表示ZNCE与ZBAM之
11、间的数量关系:(2) 当4590。时，探究ZNCE与ZBAM之间的数量关系并加以证明；(3) 当0vqv90时，若边AD的中点为F,直接写出线段EF的最大值.图 1 备用图(2018 延庆一模)27.如图1,正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE,过点B作BF丄DE 于点F,连接FC.(1) 求证:/FBC=ZCDF.(2) 作点C关于直线DE的对称点G,连接CG, FG. 依据题意补全图形； 用等式表示线段DF, BF, CG之间的数量关系并加以证明.图 1备用图 28. （2015北京）在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合）， 连接AP,平移
12、 ADP，使点D移动到点C,得到 BCQ，过点Q作QH丄BD于H,连接AH，PH.（1）若点P在线段CD上，如图1. 依题意补全图 1； 判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，且ZAHQ=152，正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的(2014)24.在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE, DE，其中DE交 直线 AP 于点 F (1)依题意补全图 1；(2) 若 ZPAB = 20。，求ZADF 的度数；(3) 如图2,若45。 ZPAB 90。，用等式表示线段AB, FE, FD之间的数量关系，并证明.18.已
13、知： ABC中，分别以AB、AC为一边向厶ABC外作正方形ABDE和ACFG,高线AH BC于H,延长HA交EG于P.（1）如图1,当ZBAC=90。时，直接写出线段PE、PG的数量关系.（2）如图2,当ZBACH90。时，上述关系是否成立，给出证明；（3）如图3,若将高线AH改为中线AH,其他条件不变，猜想AH与EG的数量和位置关系，并证 明17以AABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt AABD和等腰Rt AACE , /BAD = ZCAE = 90,连接DE, M、N分别是BC、DE的中点.探究：AM与DE的位置关系及数量 关系（1）如图 当AABC为直角三角形时，AM与DE的位
14、置关系 ，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图中的等腰RtAABD绕点A沿逆时针方向旋转。（0乙90）后，如图所示，（1）问中得图图19. 情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到 ABC和厶A CD,如图1所示.将 A CD的顶点A 与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A、B在同一条直线上，如图2所示.观察图2可知：与BC相等的线段是 ，/CAC=.图 1图 2问题探究如图3，AABC中，AG丄BC于点G,以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向 ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF,过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量 关系，并证明你的结论.图3拓展延伸如图4,AABC中，AGLBC于点G,分别以AB、AC为一边向厶ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H.若AB=kAE, AC=kAF,试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理图4(2016 海淀一模)28.在ABC中，AB=AC,ZBAC=90，点D在射线BC上(与B、C两点不重合)，以AD为边作正方形ADEF使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G.(1) 若点D在线段BC上，如图1. 依题意补全图 1； 判断BC与CG的数
