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1、清华大学理论力学课后习题答案大全 第9章动量矩定理及其应用第9章 动量矩定理及其应用 91 计算下列情形下系统的动量矩。 1. 圆盘以的角速度绕O轴转动，质量为m的小球M可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度vr运动到OM = s处；求小球对O点的动量矩。 2. 图示质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为A，质心为C，且AC = e；轮子半径为R，对轮心A的转动惯量为JA；C、A、B三点在同一铅垂线上。当轮子只滚不滑时，若vA已知，求轮子的动量和对B点的动量矩；当轮子又滚又滑时，若vA、已知，求轮子的动量和对B点的动量矩。 解：1、LO=mws 2、 p=mvC=m(vA
2、+we)=mvA(1+LB=mvC(R+e)+JCw=mvA(R+e)R22vr M O A B C R vA eR) 2+(JA-me)vAR(a) (b) 习题91图 p=mvC=m(vA+we) LB=mvC(R+e)+JCw=m(vA+we)(R+e)+(JA-me2)w=m(R+e)vA+(JA+meR)w 92 图示系统中，已知鼓轮以的角速度绕O轴转动，其大、小半径分别为R、r，对O轴的转动惯量为JO；物块A、B的质量分别为mA和mB；试求系统对O轴的动量矩。 O r 解： R LO=(JO+mAR+mBr)w A 习题92图 22B 93 图示匀质细杆OA和EC的质量分别为50k
3、g和100kg，并在点A焊成一体。若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链O处的约束力。不计铰链摩擦。 解：令m = mOA = 50 kg，则mEC = 2m 质心D位置： =0， FOx=0 -1- 94 卷扬机机构如图所示。可绕固定轴转动的轮B、C，其半径分别为R和r，对自身转轴的转动惯量分别为J1和J2。被提升重物A的质量为m，作用于轮C的主动转矩为M，求重物A的加速度。 解：对轮C： J2aC=M-FTr 对轮B和重物A： 2(J1+mR)a=FTR-mgR a R B R B FT 运动学关系： a=raC=Ra a=A 222M C r a A mg F
4、T C r M (M-mgr)rR22J1r+J2R+mRr习题94图 题9-4解图 95 图示电动绞车提升一质量为m的物体，在其主动轴上作用一矩为M的主动力偶。已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其它附属零件对各自转动轴的转动惯量分别为J1和J2；传动比r2 : r1 = i；吊索缠绕在鼓轮上，此轮半径为R。设轴承的摩擦和吊索的质量忽略不计，求重物的加速度。 FN J1 M r1 J1 M F r1 J2 R r2 J2 R r2 FN F m 解：对轮1： J1a1=M-Fr1 对轮2： (J2+mR)a2=Fr2-mgR 2mg m 习题95图 习题95解图 r1a1=r2a2
5、；a1=ia2 a2=Mi-mgRJ2+mR2+J1i2重物的加速度：a=Ra2=(Mi-mgR)RJ2+mR2+J1i296 均质细杆长2l，质量为m，放在两个支承A和B上，如图所示。杆的质心C到两支承的距离相等，即AC = CB = e。现在突然移去支承B，求在刚移去支承B瞬时支承A上压力的改变量FA。 解：JAa=mge，(ml+me)a=mge 3122A C 习题96图 B maC=mg-FA aC=ea=FA=mg-DFA=3ge222a l+3e3mge2A C B 22l+3e-FA=FA 22mg 习题96解图 mg23mge2l+3e-mg2=3e-l22222(l+3e)
6、mg -2- 97 为了求得连杆的转动惯量，用一细圆杆穿过十字头销A处的衬套管，并使连杆绕这细杆的水平轴线摆动，如图a、b所示。摆动100次所用的时间为100s。另外，如图c所示，为了求得连杆重心到悬挂轴的距离AC = d，将连杆水平放置，在点A处用杆悬挂，点B放置于台秤上，台秤的读数F = 490N。已知连杆质量为80kg，A与B间的距离l=1m，十字头销的半径r = 40mm。试求连杆对于通过质心C并垂直于图面的轴的转动惯量JC。 习题97图 解：图，q1时， &=-mg(d+r)q JAq&+mg(d+r)q=0 JAq &+qmg(d+r)JAJA=2Ad+rq=0qC.qwn=2mg
7、(d+r)JABmgT=wnmg(d+r)2(a) JA=JC+m(d+r)=58=0.625由图： MA=0，d=Flmgm =2sACBFd代入、，注意到周期TJC=mg(d+r)22，得 g2-m(d+r)=m(d+r)9.82-(d+r)lmg=800.665(=17.45kgm2-0.665)(b) 习题97解图 98 图示圆柱体A的质量为m，在其中部绕以细绳，绳的一端B固定。圆柱体沿绳子解开的而降落，其初速为零。求当圆柱体的轴降落了高度h时圆柱体中心A的速度和绳子的拉力FT。 解：法1：图 maA=mg-FT JA=FTr 解得 aA=rJA=FT=mr21213习题98图 mga
8、A=23g-3- 由运动学 vA=2aAh=233gh法2：由于动瞬心与轮的质心距离保持不变，故可对瞬心C用动量矩定理： &=mgr JCj 又 aA再由 得 99 鼓轮如图，其外、内半径分别为R和r，质量为m，对质心轴O的回转半径为，且2 = R r，鼓轮在拉力F的作用下沿倾角为的斜面往上纯滚动，F力与斜面平行，不计滚动摩阻。F 试求质心O的加速度。 JC=JA+mr&=j=23A2=32mr2FTaArgCrAaAmga） (a) 3ghma=mg-FTvAFT=13mg23vA=2aAh=解：鼓轮作平面运动，轴O沿斜面作直线运动： maO=F-Ff-mgsinq mra=Fr+FfR 纯
9、滚：aO=Ra 代入 mr2r O R 2 习题99图 aOR=Fr+FfR F 2解、联立，消去Ff，得 aO=FR(R+r)-mgRsinqm(R+r)22r O mg R Ff FN 题9-9解图 910 图示重物A的质量为m，当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子C沿水平轨道滚动而不滑动。绳子跨过不计质量的定滑轮D并绕在滑轮B上。滑轮B与滚子C固结为一体。已知滑轮B的半径为R，滚子C的半径为r，二者总质量为m，其对与图面垂直的轴O的回转半径为r。求：重物A的加速度。 习题910图 -4- 解：法1：对轮： JOa=TR-Fr maO=F-TtH对A： maA=mg-Tm mgga又：a
10、A=aH绳=a 以O为基点： atHaO+anH=aO+anHO+atHO HTaH绳E Ftt aH=aHO-aO=Ra-ra=(R-r)a FN aA=(R-r)a 由上四式联立，得 g22aA mg+r)+m(R-r)m(r+r)+12m(R-r)(a) aO 法2：对瞬心E用动量矩定理 JEa=T(R-r) maA=mg-T 又aA=(R-r)a 222JE=JO+mr=m(r+r) 可解得：aA=gm(r+r)+12m(R-r)22O naH aHO nH aHtt(b) aHO911 图示匀质圆柱体质量为m，半径为r，在力偶作用下沿水平面作纯滚动。若力偶的力偶矩M为常数，滚动阻碍系
11、数为d，求圆柱中心O的加速度及其与地面的静滑动摩擦力。 解：JDaMf=M-Mfa=dFN2FN=mgJD=32mrFarmgMa=arMfD代入，得 a=2(M-dmg)3mrFN习题911图 (a) 又：maF=F3r2(M-dmg)912 跨过定滑轮D的细绳，一端缠绕在均质圆柱体A上，另一端系在光滑水平面上的物体B上，如图所示。已知圆柱A的半径为r，质量为m1；物块B的质量为m2。试求物块B和圆柱质心C的加速度以及绳索的拉力。滑轮D和细绳的质量以及轴承摩擦忽略不计。 解：对轮C： JCa=FTr mg m1aC=m1g-FT 对物块B：m2aB=FT 且：aC=aB+ra；JC=解得：a
12、=Bm1m1+3m2m1m2m1+3m2gB 2D B 12m1r =m1+2m2m1+3m2g 2FT T FT C C 习题912图 A FN a A m1g ；aCg FT=题9-12解图 -5- 913 图示匀质圆轮的质量为m，半径为r，静止地放置在水平胶带上。若在胶带上作用拉力F，并使胶带与轮子间产生相对滑动。设轮子和胶带间的动滑动摩擦因数为f。试求轮子中心O经过距离s所需的时间和此时轮子的角速度。 解：图，轮O平面运动： maO=F1 0=FN-mg JOa=F1r习题913图 由， FN=mg=12mr2动滑动时， F1=fFN=fmg代入，得 aO=fg 代入，得 mgF1由代入下式： s=12aOtFN(a) 得 t=2sfg2r2fgsw=at=914 图示匀质细杆AB质量为m，长为l，在图示位置由静止开始运动。若水平和铅垂面的摩擦均略去不计，试求杆的初始角加速度。 解：法1：P为AB杆瞬心，PCJPa=mgJP=13ml2=l2，图： l2sinqPa=3g2lsinq习题914图 BFB法2：AB杆平面运动 &C=FB m&x&C=FA-m
