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1、函数的性质知识要点一、 函数的奇偶性1定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。2利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：（1）首
2、先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2） 确定f(x)与f(x)的关系；（3） 作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数。3简单性质：（1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；（2）设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（3）任意一个定义域关于原点对称的函数 均可写成一个奇函数 与一个 偶函数
3、和的形式，则 。4 奇偶函数图象的对称性(1)若是偶函数，则的图象关于直线对称；(2)若是奇函数，则的图象关于点中心对称；授课：XXX5一些重要类型的奇偶函数：（1） 函数 是偶函数，函数 是奇函数；（2）函数 且是奇函数；（3）函数 且是奇函数；（4）函数 且是奇函数。二、函数的单调性1定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必须是对于区间D内的任意两个自变量x
4、1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)（3）函数单调性的两个等价形式： 在给定区间上单调递增（递减）；在给定区间上单调递增（递减）。2如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。3设复合函数y= fg(x)，其中u=g(x) , A是y= fg(x)定义域的某个区间，B是映射g : xu=g(x) 的象集：若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= fg(x)在A上是增函数；若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减
5、（或增）函数，则函数y= fg(x)在A上是减函数，简称“同增异减”。4判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：（1） 任取x1，x2D，且x1x2；（2）作差f(x1)f(x2)；（3）变形（通常是因式分解和配方）；（4）定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；（5） 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。5简单性质（1）奇函数在其对称区间上的单调性相同；（2）偶函数在其对称区间上的单调性相反；（3）在公共定义域内：增函数f(x)+增函数g(x)是增函数；减函数f(x)+减函数g(x)是减函数；增函数f(x)-减函数g(x)是增函
6、数；减函数f(x)-增函数g(x)是减函数。授课：XXX三、函数的最值1定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最小值。注意：（1）函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M；（2）函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（
7、f(x)M）。2利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；（2）利用图象求函数的最大（小）值； （3） 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；授课：XXX函数的单调性A组1下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)”的是_f(x)f(x)(x1)2 f(x)exf(x)ln(x1)2函
8、数f(x)(xR)的图象如右图所示，则函数g(x) f(logax)(0a1)的单调减区间是_3函数y 的值域是_4已知函数f(x)|ex|(aR)在区间0,1上单调递增，则实数a的取值范围是_5如果对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x)M(M为常数)，称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是_f(x)sinx；f(x)lgx；f(x)ex；f(x)6已知函数f(x)x2，g(x)x1.(1)若存在xR使f(x)0)在(，)上是单调增函数，则实数a的取值范围是_4定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x20，)(x1x2)，有0，则
9、下列结论正确的是_授课：XXXf(3)f(2)f(1)f(1)f(2)f(3) f(2)f(1)f(3)f(3)f(1)f(2)5已知函数f(x)满足对任意x1x2，都有0，a1)在区间(0，)内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为_10试讨论函数y2(logx)22logx1的单调性11已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足f()f(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)2.12已知：f(x)log3，x(0，)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列三个条件：(1)在(0,1上是减函
10、数，(2)在1，)上是增函数，(3)f(x)的最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，说明理由授课：XXX 函数的性质A组1设偶函数f(x)loga|xb|在(，0)上单调递增，则f(a1)与f(b2)的大小关系为_2定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)f(4)f(7)等于_3已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则f(25)、f(11)、f(80)的大小关系为_4已知偶函数f(x)在区间0，)上单调增加，则满足f(2x1)0，若f(1)0，那么关于x的不等式xf(x)0的解集是_5已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2009)f(2010)的值为_授课：XXX6已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f(x2)，若当2x3时，f(x)x，则f(2009.5)_.7定义在R上的函数f(x)在(，a上是增函数，函数yf(xa)是偶函数，当x1a，且|x1a|x2a|时，则f(2ax
