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1、数学必修五复习提纲解三角形数学必修五复习资料 第一章 解三角形 一、知识点总结 1正弦定理:asinA=bsinB=csinC=2R 变形： a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC sinA=abc边角互化2R,sinB=2R,sinC=2Ra:b:c=sinA:sinB:sinC a+b+c=a=b=c sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC=2R b2+c2-a2 cosA a2=b2+c2-2bccosA=2bc22 2.余弦定理： b2=a2+c2-2accosBcosB=a+c-b2c2=b2+a2-2bacosC2acb2+a2-c2cosC=2ab 3
2、.三角形面积公式： S111DABC=2aha=2bhb=2chc或SDABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB=abc4R 4.射影定理： a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA 5.三角形中的常用结论： (1)a+bc,a-bBabsinAsinBcosAcosB. (文字说明：锐角三角形中，任一角的正弦值大于其他角的余弦值) 理由：A+Bp 20p2-BAp2sin(p2-B)sinAcosBp 2,则sinAcosB. 理由：A+Bp20Ap2-Bp2sinAsin(p2-B)sinA0 理由：A+Bp0Ap-Bcos(p
3、-B)cosA-cosBcosA+cosB0 (6)三角形中的诱导公式： A+B+C=pA+B=p-CA+Bp2=2-C2 sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC，tan(A+B)=-tanC,sinA+B2=cosCA+BC2,cos2=sin2,1 数学必修五复习资料 二、常见题型 1、解三角形 利用正弦定理：已知两角和任意一边(AAS、ASA)，求其他的两边及一角 已知两边和其中一边的对角(SSA)，求其他边角 利用余弦定理：已知三边(SSS)求三角 已知两边及夹角(SAS)，求第三边和其他两角 已知两边和其中一边的对角(SSA)，求其他边角 已知“SSA”利用正弦定理
4、与余弦定理求解的区别： 已知条件 定理应用 一般解法 1.A为钝角或直角，ab，一解，再求sinB ab，无解 正弦定理 两边和其中一边的对角(SSA) 2.A为锐角，先求sinB，若sinB1，无解； 若sinB1，一解； 若sinB1，ab，一解 ab，两解 余弦定理 2、判断三角形形状或求值 方法一：确定最大角 方法二：边化角 常用公式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,a2=b2+c2-2bccosAsin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA先利用余弦定理写出关于c的方程，再求c，最后根据方程根的情况确定三角形解的个数。 常见结论：sinA=si
5、nBA=B(等腰三角形) sina=sinba=b+2kp或a=p-b+2kp)(原理：psin2A=sin2BA=B(等腰三角形)或A+B=(直角三角形)2 方法三：角化边 常用公式：sinA=abc,sinB=,sinC=,2R2R2Rb2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c2cosA=,cosB=,cosC=,2bc2ac2ab常见结论：a2b2+c2A90o(钝角三角形)a2=b2+c2A=90o(直角三角形)a2b2+c2222ba+c锐角三角形222ca+b2 数学必修五复习资料 v 常见的形式： acosA=bcosB(等腰三角形或直角三角形) abc=(等边三角形) co
6、sAcosBcosC b=acosC(直角三角形)sinA=2sinBcosC(等腰三角形) a2+2bccosA=b2+c2=(b+c)2-2bc在DABC的周长等于20，面积是103，A=60，BC边的长。 解：由S=1 2bcsinA，即103=34bc,bc=40 又a+b+c=20,b+c=20-a, a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-bc a2=(20-a)2 -120,a=7，BC长为7. 5、正、余弦定理的综合应用 在DABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，a=23，tanA+B2+tanC2=4, 2siBncCo=ssA，求inA,B及b,c cosCC 由tanA+B2+tanCsin2=4得2+2=411sinCCCC=4sinC=2， 2cos2sin2cos2 又C(0,p)C=p6，或C=5p6由2sinBcosC=sinA得 2sinBcosB=sin(B+C)，即sin(B-C)=0 3 数学必修五复习资料 B=C，B=C=p6，A=p-(B+C)=2p 31abcsinB= 由正弦定理得b=c=a=232=2 sinAsinBsinCsinA32 4
