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1、word第四讲多元线性回归模型? 目的和要求：通过本章学习，要求学生理解多元线性回归模型的矩阵表示，掌握多元线性回归模型的参数估计，理解模型检验的方法，学会应用多元线性回归模型进展经济预测。? 教学重点：1、普通最小二乘估计法；2、多元线性回归模型的检验。? 教学难点：多元线性回归模型的参数估计和检验探知识体系1、回归模型一一总体线性回归模型与样本线性回归模型；回归模型的矩阵表示；模型的根本假定2、 参数估计 OLS估计法；OLS估计量的性质；OLS估计量的区间估计3、统计检验一一方程总体显著性检验 F检验；变量显著性检验t检验4、模型应用一总什均值习计量经济区间预测；个别值的点预测与区间预测
2、探 案例：中国汽车的保有量会达到1.4亿辆吗？中国经济的快速开展，使居民收入不断增加，数以百万计的中国人开始实现拥有汽车的梦想，中国 也成为世界上成长最快的汽车市场。中国交通部副部长在中国交通可持续开展论坛上做出预测：“ 2020年，中国的民用汽车保有量将比 2003年的数字增长6倍，达到亿辆左右。是什么因素导致中国汽车 数量的增长？影响中国汽车行业开展的因素并不是单一的，经济增长、消费趋势、市场行情、业界心态、能源价格、道路开展、内外环境，都会使中国汽车行业面临机遇和挑战。怎样分析多种因素的影响？分析中国汽车行业未来的趋势，应具体分析这样一些问题：中国汽车市场开展的状况如何？用销售量观测影响
3、中国汽车销量的主要因素是什么？如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等各种因素对汽车销量影响的性质怎样？正、负各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？所得到的数量结论是否可靠？中国汽车行业今后的开展前景怎样？应当如何制定汽车的产业政策？显然，只用一个解释变量已很难分析汽车产业的开展，还需要寻求多元回归分析方法。、多元线性回归模型一总体回归模型和样本回归模型项目总体样本多元线性 回归模型Y 01X1i2X2i.k XkiiY XY ?Xf?2X2i .?kXki eY X ? e多元线性 回归函数E(丫 X1i , X2i ,Xki )01X1i2X2i .k XkiE(Y/X) XY?
4、X1i?2X2i.?kXkiT X ?随机干扰项i Y E(Y X1i,X2i,.,Xki)Y E(Y/X)e Y-Y? e Y Y?偏回归系数0,1 ,2, k? ? ? ?0,1,2 ,., k?Note:多元回归分析是以多个解释变量的固定值为条件的回归分析，反映了各解释变量X值固定时Y的平均响应。偏回归系数 j表示在其它解释量保持不变的条件下，Xj每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化。多元线性回归模型中的“线性是对各个回归系数而言的，对变量而言，可以是线性,，取自然对数转化为也可是非线性的。如柯布-道格拉斯生产函数Y AL KIn Y In A In L In K In# / 18多
5、元线性回归模型的矩阵表示 元1X1i线2X2i回k Xki归i,(i模 型1,2,., n)，可表示为:Y丫21 X111 X122X212X22kXk1kXk2Yn1X1 n2X2nkXkn丫11X11Xk11丫21X12 *Xk22Yn1Xm.XknEknYXn 1n(k 1)(k 1) 1n 1用矩阵表示为:总体回归函数E 丫 X = X B总体回归模型： Y = X B+样本回归函数：丫？= X? 样本回归模型: 其中：Y,丫？ ,e都是有n个元素的列向量， 一列为1的n (k 1)阶解释变量的观测值矩阵Y = X?+eB ?是有k 1个元素的列向量，X是第截距项可视为解释变量取值为
6、1(三)多元线性回归中的根本假定1、根本假定 解释变量X1,，Xk为确定性变量，且各解释变量之间不存在线性关系，即:kCjXjj 0,即：C1X1i p2X2i CkXki 0j 1矩阵型式：矩阵 X是n (k 1)阶非随机矩阵和列满秩矩阵，即：R(X) k 1 R(XX) k 1，也就是说，k 1阶方阵XX是可逆的非奇异矩阵。Note :列满秩矩阵指一个矩阵的列数小于行数，且秩等于列数；行满秩矩阵指一个矩阵的行数小于列数，且秩等于行数。n阶方阵A满秩R(A)二n A 0A为可逆的非奇异矩阵Ax b有唯一解方阵A勺向量间无线性关系；n阶方阵A不满秩(A)n|a 0A为不可逆的奇异矩阵Ax b的
7、解不唯一方阵A勺向量间线性相关。随机干扰项 j具有零均值、同方差和不序列相关性，即零均值一一E( i)0,i1,2，,n ；同方差一一Var( i)2,i 1,2，,n无序列相关一一Co* i, j) Eu E(uJUj E(uj) E(uuj)0,i j；i,j 1,2,.，,nword12Cov( i,Xji)E XE Xliiji E i E X,i 0,( j1,2,k;i 1,2,n)矩阵形式：11 11iE iX11X2-Xn2X1i iE X1i iE XE:E: 0Xk1Xk2 X knnXki iE Xki iX(k 1) nn (k 1) 随机干扰项 匚服从零均值，同方差，
8、零协方差的正态分布，即:矩阵形式:E()E(E(1)2)E(n)cov(E()E(E(Var( 1)Cov( 2, 1)Cov(Var( 2)2)Cov(Cov(n)n)2ICov( n 1)随机干扰项Cov( n 2)i与解释变量 Var(Xji不相关，即n)i N(0,2),i1,2,，n中心极限定理矩阵形式： N (0,2I)X ji取值要有变异 样本容量趋于无穷时，各解释变量的样本方差趋于有限常数，即性，不能单调上升或下降lim P(1nX；)lim Pn(X,i 1Xj)# / 181矩阵形式：-xx Qn其中，Q为一非奇异固定矩阵，矩阵x是由解释变量的离差为元素组成的X11Xk1n
9、 k矩阵，即x ：:心xkn模型没有设定偏误specification error 样本容量大于待估参数的个数，即n k 1word2、Y的分布性质Y 零均值假定：E( i) 同方差假定：Var( i)01X1i2 X2i .0 E(Y) 0 Xi2 2kXki2X2ikXkiVar(Y)Cov(Y,Yj)无序列相关假定： Cov( i, j) 02iN(0,) YN( 0正态分布假定：二、参数估计一普通最小二乘法OLS 1、根本思想 随机抽取n0 (ij)1X1i2X2ikXki,2)组样本观测值(Xjj，Y)(i1,2,n; j0,1,，k)，?X2.?Xki尽可能好地拟合这些散点的分布规
10、律，如此必须满足假如要使样本回归线所有样本观测点Xji,Y丨到样本回归线的距离之和最小，即:nn2mi nQ min e min Yii 1i 1nmin Y ? ?Xp ?Xqi 1彳Xki2、参数的最小二乘估计微分求最值原理n要使 min Q mineii 1nmin Yi 12Y?，如此必使Q对?(j0,1，k)的一阶偏导数等于0，即可得正规方程组:-2Y-(?人 ?i X ki)0e 0# / 18-2 X1iY-(? ?X1i?iXki)0X1ie 0-2 Xki Y?X1i2X2i.ki Xki)0Xkie0Note: Y1-( ?2X2i?3X3i.?ki Xki)e转化成矩阵形
11、式e11 1e0xeX11X12Xm0二- Tr1=X e=:TpXkieXk1Xk2Xknen0XeXe(k 1) nn 1(k 1) 1样本回归函数为Y二X?+ e两边同乘X，可得：XY = XX?+Xe/ Xe 0 XX?= X Y/ k 1阶方阵X X是可逆的非奇异矩阵- ?= (XX)-1 XYNote:行向量乘以列向量得到一个标量数；列向量乘以行向量得到一个矩阵;求逆矩阵可使用初等变换的方法；XX为对称的方阵。11.11X11Xk1nX1iXkiX11X12 X1n1X12X k2XuX12XnXkiXX =:Xk1X k2 X kn1XmXknX kiXkiX1i XkiXX(k 1)nn (k 1)11 1YYX11X2XmY2XnYX Y =:Xk1X k2 XknYnXkiYXYXY(k 1) nn 1(k 1) 1XX(k 1) (k 1)yiYiY?%哲?2x2i?Xki e,i 1,2,.,n其矩阵形式为：y x? ey1X11X21-其中，y y2,xX12X22ynXmX2n-yXn 1n k参数的OLS估计由微分求最值原理可知，要使min?xii?kXki2e minyi佃3、样本回归函数的离差形式样本回归函数的离差形式Yi?)?Xii ?X2i .?Xki e?0?X如此必使:-2Xu y1( 1X1i2 X2i.ki Xki )
