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1、第三章导数与微分一、本章学习要求与内容提要(一)学习要求1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数(变化率) 描述一些简单的实际问题.2. 熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导 公式.3. 熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一 阶导数的求法.4. 了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法.5. 了解可导、可微、连续之间的关系.重点 导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的 二阶导数的求法.难点求复合函数和隐函数的导数的方法.(二) 内容提要1. 导数的概念导数设函数y f(x)在点xo的某一邻域内有定义，当自变量x在点xo处有增量x
2、( x 0)， xx仍在该邻域内时，相应地，函数有增量y f (xo x) f (xo)，若极限lirfx 0x) f(X。)x存在，则称f(X)在点Xo处可导，并称此极限值为f(x)在点Xo处的导数,记为f (xo)，也可记为y (xo),f (Xo)0oyJdy或df，即x XodxXXodxX Xoylim f(xox)f (Xo)Xx oX-若极限不存在，则称y f(x)在点Xo处不可导.若固定Xo，令XoX X，则当x o时，有XXo，所以函数f (X)在点Xo处的导数f (Xo)也可表示为f (Xo)lim3x of(Xo)Xo左导数与右导数函数f (x)在点X。处的左导数f（X。
3、）= limix 0lifX 0x） f（X。）X函数f(X)在点X0处的右导数f（X。）= limx 0lim仝X） f（x）X函数f(x)在点X0处可导的充分必要条件是f(x)在点X0处的左导 数和右导数都存在且相等.2 .导数的几何意义曲线的切线在曲线上点M的附近，再取一点Mi ,作割线MMi ,当点Mi沿曲线 移动而趋向于M时，若割线MMi的极限位置MT存在，则称直线MT为 曲线在点M处的切线.导数的几何意义函数y f(x)在点X0处的导数表示曲线y f(x)在点(X0, f(x0)处的切 线斜率关于导数的几何意义的3点说明： 曲线y f(x)上点(X0,y)处的切线斜率是纵标变量 y
4、对横标变量 X的导数.这一点在考虑用参数方程表示的曲线上某点的切线斜率时优为重要. 如果函数y f (x)在点X0处的导数为无穷(即，此时f(x) 在X0处不可导),则曲线y f(x)上点(X0,y)处的切线垂直于x轴.函数在某点可导几何上意味着函数曲线在该点处必存在不垂直 于x轴的切线.3.变化率函数的增量与自变量增量之比，在自变量增量趋于零时的极限， 即导数.在科学技术中常常把导数称为 变化率(即因变量关于自变量 的变化率就是因变量关于自变量的导数).变化率反映了因变量随着自变量在某处的变化而变化的快慢程度.4. 可导与连续的关系若函数y f(x)在点x处可导，则y f(x)在点x处一定连
5、续.但反过来不一定成立，即在点X处连续的函数未必在点X处可导.5. 高阶导数二阶导数函数y f (x)的一阶导数y f (x)仍然是x的函数，则将一阶导数(x)或y或宕，即f (x)的导数(f (x)称为函数y f (x)的二阶导数，记为y =(y)d2y = d dy2dx dx dxn阶导数(n 1)阶导数的导数称为n阶导数(n=3, 4,(n 1) , n)分别记(4)yd3ydx3d4ydx4dxn1dnydxnf (x) , f(4)(x) , f(n1)(x), f(n)(x)，(n 1)y二阶及二阶以上的导数称为高阶导数.6 .微分微分的定义如果函数y f(x)在点x处的改变量y
6、 f (x x) f (x)，可以表示 成y A x o( x)，其中o( x)是比x( x 0)高阶的无穷小，则称函数y f(x)在点x处可微， 称A x为y的线性主部，又称Ax为函数y f(x)在点x处的微分，记 为 dy或df (x)，即 dy A x.微分的计算df (x) f (x)dx，其中dx x , x为自变量.一阶微分形式不变性对于函数f(u),不论U是自变量还是因变量，总有df(u) f (u)du成 立.7. 求导公式微分公式表3.1给出了基本初等函数的求导公式及微分公式.表3.1求导与微分公式求导公式微分公式c 0（c为常数）d c 0（c为常数）(x )X 1（为实数
7、）d(x )x 1dx （为实数）X(a )Xa In ad(ax) ax ln adx(e )X ed(ex)eXdx(lOgaX)1d (log a X)1 dxxln axln a(In x)1d(ln x)1 dxXX(si nx)cosxd(s inx)cosxdx基本(cosx)si nx基本 初等d (cosx)sinxdx初等(ta nx)2 sec xd (ta n x)sec2xdx(cotx)o2函数 求导csc X函数 微分d(cot x)csc xdx(secx)secxta nxd (secx)secxta nxdx公式公式(cscx)cscxcotxd (cscx
8、)cscx cot xdx(arcsin x)11d (arcsirx)jdx曲x2zf2-x1(arccos x),?1d (arccosx)=dxV1 xV1 x21(arcta nx)21d(arctanx)2 dx1 X1 X1(arc cot x)21 X1d(arccotx) 2 dx1 X对求导公式作如下两点说明(1)求导公式f（X）表示函数f（X）对自变量x的导数，即f (x) =df(X)dx求导公式f （x）表示函数f （X）对函数（X）的导数，即(x) =df (x)d (x)8. 求导法则微分法则求导法则，微分法则见下表3.2复合函数求导法则参数方程求导法则隐函数求导法
9、对数求导法表3.2求导与微分法则表求导法则微分法则函u(x) (x) u (x)(x)函d u(x) (x) du(x) d (x)諛的四则运算求导法则u(x) (x)u (x) (x) u(x) (x)c u(x) c u (x) (c为常数)諛的四则运算微分法则d u(x) (x)(x)du(x) u(x)dv(x)d cu(x) cdu(x)(c为常数)u(x)u (x) (x) u(x) (x)(x)2(x)()1 ( (x)0)(x)(x)u(x)(x)d u(x) u(x)d (x)d 2 ( (x) 0)(x)(x)dF -4( (x) 0)(x)(x)复 合 函 数 求 导 法
10、 则设 y f(u)，u (x)，则复 合函数y f (X)的导数为dydy dudxdu dx复合函数微分法则设函数y f (u) , u (x),则函 数y f(u)的微分为dy f (u)du，此 式又称为一阶微分形式不变性参 数 方 程 确 疋 的 函 数 的 导 数dy若参数方程x 确定了 y是x的函数，贝S dy dt或dy (t) y (t)dx dxdx(t)dt反 函 数 求 导 法 则设y f(x)的反函数为x(y),则f(x)(J (y) o)或dy ；dy9. 微分近似公式(1)微分进行近似计算的理论依据对于函数y f(x),若在点xo处可导且导数f(X。)0,则当|
11、x很小 时，有函数的增量近似等于函数的微分，即有近似公式y dy .(2)微分进行近似计算的4个近似公式 设函数y f(x)在点Xo处可导且导数f (Xo) 0，当X很小时，有 近似公式y dy，即f(Xo x) f (xo) f (xo) x， f (xo X) f (Xo) f (Xo) X，令XoX X，贝Sf (x) f (Xo) f (Xo)(x Xo),特别地，当Xo o , X很小时，有f(x) f(o) f(o)x .二、主要解题方法1. 用导数的定义求函数导数的方法例1 求y X X在X o处的导数.解由导数的定义知f(o)limX) f(o)XxJ x o limx o0o
12、x0.例2求f(x)In 1 x,的导数.解当x o时，f (x)当 x o时，f (x) 1 ,当x o时,f(o)lim f(X)x of(o)oXmof(x) f(o)所以f (0)X 0 lim1,x 0Xln(1 x)01f(0) limlimln(1 x)X ln e 1X0Xx 0因此f (0)1 ,于是f (X)11 X7X0 ,1 ,X0 .小结 求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义求之外，其余点则仍按初等函数的求导公式求得2. 用和、差、积、商及复合函数的求导法则求导的方法例3设f(x)x Jx Vx 1 +、,求 f (x).3x解 f(x)xVx 13x2x31x1 xf (x)2x3 ix1 !x363例4 设y ln(x x 1)求解利用复合函数求导法求导，得y ln( x . x21) (x x 、X212 11x x 1(x21) 1x . x212x12F2 山XX211XX21x21小结 若函数变形后能简化求导运算，应先简化后再求导，在求高阶导数时更要注意这一点 . 另外，还要注意应用四则运算法则的前提条件是：函数f(x)在点xo可导，否则法则失效.如y X X在x 0点，用四则运算 法则求导，y (0)不存在，但由例1知y X.X在X 0的导数为0.对 于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内
