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1、第二章、一阶微分方程的初等解法 教学目标 1. 理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型(齐次方程)，熟练掌握变量分 离方程的解法。2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。3. 理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。 教学重难点 重点是一阶微分方程的各类初等解法 ，难点是积分因子的求法以及隐式 方程的解法。 教学方法 讲授，实践。 教学时间 14 学时 教学内容 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方 程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法
2、，隐式方程。 考核目标 1. 一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方 程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法。2. 会建立一阶微分方程并能求解。1 变量分离方程与变量变换1 、 变量分离方程1) 变量分离方程形如dy f(x)g(y) (或 M1(x)N1(y)dx M2(x)N2(y)dy 0)(2.1)dx的方程，称为 变量分离方程 ，其中函数 f (x) 和 g(y) 分别是 x,y 的连续函数 .2) 求解方法如果 g(y) 0，方程 (2.1) 可化为，gd(yy) f (x)dx这样变量就分离开了 ,两边积分 ,得到gd(yy)f(x)dx c2.2
3、)把 dy , f(x)dx 分别理解为 g(y)1(y)f (x) 的某一个原函数容易验证由( 2.2 )所确定的隐函数 y ( x, c)满足方程( 2.1). 因而( 2.2 )是2.1 )的通解 .如果存在 y0使g(y0) 0，可知 y y0也是( 2.1 )的解.可能它不包含在方程的通 解( 2.2)中，必须予以补上 .3) 例题例 1 求解方程 dy xdx y解 将变量分离，得到ydy xdx两边积分，即得2 y22 xc 22因而，通解为x2 y2c这里的 c 是任意的正常数或解出显式形式例 2 解方程dy y2 cosxdx并求满足初始条件：当 x 0时.y 1的特解 .解
4、 将变量分离，得到dy2 cos xdx y两边积分，即得1sin x cy因而，通解为1 sin x c这里的 c 是任意的常数 .此外，方程还有解 y 0.为确定所求的特解，以 x 0. y 1代入通解中确定常数 c ，得到 c 1因而，所求的特解为1 y1 sin x例 3 求方程2.3)dy P(x)ydx的通解，其中 P(x) 是 x 的连续函数 .解 将变量分离，得到dy P(x)dxy两边积分，即得ln y P(x)dx c这里的 c 是任意常数 .由对数的定义，即有P(x)dx c ye令 ec c ，得到P(x)dxy ce ( 2.4)此外， y 0也是( 2.3 )的解
5、.如果在( 2.4 )中允许 c 0，则 y 0也就包括在(2.4 )中，因而，( 2.3)的通解为( 2.4 )，其中 c是任意常数 .注: 1. 常数c的选取保证 (2.2)式有意义 .2. 方程的通解不一定是方程的全部解 , 有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解 . 此时，还应求出不含在通解中的其它解 , 即将遗漏的解要弥补上3. 微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件y(x0) y0的一个解，表示的是一条过点 (x0,y0) 的曲线.2 、可化为变量分离方程的类型1) .形如dydxg xy2.5)的方程，称为齐次方程，这里的 g(u) 是u的连
6、续函数 .另外, )对于方程dy M (x,y)dx N(x,y)其中函数 M (x,y)和N(x,y)都是 x和 y 的m次齐次函数，即对 t 0有M (tx,ty) tmM (x,y) N(tx,ty) tmN(x, y)1事实上，取 t 1 ，则方程可改写成形如 (2.5) 的方程 .xdy xmM (1,y) M(1,y)dy x xdx xmN(1,y) N(1,y)xx) 对方程dy f (x, y)dx其中右端函数 f (x,y) 是 x和 y 的零次齐次函数，即对 t 0有f (tx,ty) f (x,y)则方程也可改写成形如 (2.5) 的方程dy f(1,y)dx x对齐次
7、方程（ 2.5 ）利用变量替换可化为变量分离方程再求解2.6)即 y ux ，于是ddyxduxudx2.7)将（ 2.6）、（ 2.7 ）代入2.5 ），则原方程变为整理后，得到xdu udxg(u)du g(u) u dx2.8)方程（ 2.8 ）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变 所得的解便是原方程（量，2.5 ）的解 .例 4 求解方程 dy ydx xtg yx解 这是齐次方程，以u,dy xdu u 代入，则原方程变为 dx dxduxudxu tgudu tgu xdx2.9)分离变量，即有ctgududx两边积分，得到ln sinuln x c2.
8、10)这里的 c 是任意的常数，整理后，得到sinu cx此外，方程（ 2.9 ）还有解 tgu 0,即sinu 0. 如果（ 2.10 ）中允许 c 0，则 sinu 0就包含在（ 2.10 ）中，这就是说，方程（ 2.9）的通解为（ 2.10 ）.代回原来的变量，得到原方程的通解为sin y cxx例 5 求解方程 xddyx2 xy y (x 0).解 将方程改写为这是齐次方程，以y (x 0)xxdu u 代入，则原方程变为 dxxdu 2 u dx2.11)分离变量，得到du2udxx两边积分，得到（ 2.11 ）的通解u ln( x) c2u ln( x) c2(ln( x) c
9、0)(2.12)这里的 c是任意常数 .此外，（ 2.11 ）还有解 u 0注意，此解不包括在通解（ 2.12 ）中 .代回原来的变量，即得原方程的通解y xln( x) c2 (ln( x) c 0) 及解 y 0.原方程的通解还可表为xln( x) c2, ln( x) c 0, y0,它定义于整个负半轴上 .注：1. 对于齐次方程 dy g y 的求解方法关键的dx xy ux ，再对两边求关于 x 的导数得 dy u xdu ，再将其代入齐次方程使方程变为dx dx步是令 u 后，解出x关于 u , x的可分离方程 .x2. 齐次方程也可以通过变换 v 而化为变量分离方程y. 这时 x
10、 vy ，再对两边求关于 y 的导数得 dx v ydv ，将其代入齐次方程 dx dy dy dy使方程变为 v, y 的可分离方程小结：这一讲我们主要讲解了一阶微分方程的可分离变量法和齐次方程的dy g y 形状的解法 .而这一齐次方程通过变量替换任然可化为可分离方程，因而， dx x 一定要熟练掌握可分离方程的解法 .2）形如dy a1x b1y c1 dx a2x b2y c22.13)的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的 a1,a2,b1,b2,c1,c2 均为常数 .分三种情况来讨论1) c1 c2 0情形 .这时方程（ 2.13 ）属齐次方程，有dy a1x b1y g yd
11、x a2x b2 yx此时，令 u y ，即可化为变量可分离方程 x2）a1 b1a2 b20 ，即 a1 b1 的情形 .a2 b2设 a1 bb12 k，则方程可写成a2dydxk(a2x b2 y) c1k(aa22xx bb22yy) cc21 f(a2x b2y)令 a2x b2y u，则方程化为dua2 b2 f (u) dx这是一变量分离方程 .3）a1 b1a2 b20及c1,c2 不全为零的情形 .这时方程（ 2.13 ）右端的分子、分母都是 x,y 的一次式，因此a1x b1y c1 0a2x b2 y c2 0代表 xy平面上两条相交的直线，设交点为 （ , ）.显然，
12、0 或0 ，否则必有 c1 c2 0，这正是情形（移，将坐标原点 （0,0） 移至 （ , ）就行了，若令XxYy2.14)1）（只需进行坐标平2.15)则( 2.14 )化为a1X b1Y 0a2X b2 y 0从而（ 2.13 ）变为dYdXa1X b1Y g Y a2 X b2YX2.16)因此，得到这种情形求解的一般步骤如下：（1） 解联立代数方程（ 2.14 ），设其解为 x , y ；（2）作变换（ 2.15 ）将方程化为齐次方程（ 2.16 ）；Y（3） 再经变换 u 将（ 2.16 ）化为变量分离方程；X（4）求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程（ 2.13 ）的解
13、.上述解题的方法和步骤也适用于比方程（ 2.13 ）更一般的方程类型dy fdxa1x b1y c1a2x b2 y c2此外，诸如ddyx f(ax by c)y(xy)dx xg(xy)dy 02 dyx2 ddyx f(xy)dy xfdxxy2以及M (x, y)( xdx ydy) N(x, y)( xdy ydx) 0（其中 M,N为 x, y的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的 变量变换化为变量分离方程 .例 6 求解方程dy x y 1dx x y 3x y 1 0解 解方程组xy30x X 1令yY2得 x 1,y 2.2.17)代入方程（ 2.17 ），则有dY X Y dX X Y2.18)再令Yu 即 Y uXX则( 2.18 )化为dX 1 u2 duX 1 2u u2两边积分，得ln X 2 ln u2 2u 1 c因此2 2 cX 2(u2 2u 1) ec记 ec c1, 并代回原变量，就得22Y2 2XY
