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1、第九章 重积分第一节 重积分的概念与性质1.选择 设, （1）若由轴、轴与直线围成,则在上. .; .; 由二重积分的性质可知,. .; .; .; （2）若由圆周围成,则. .; .; .;2.填空 设, （1）若,域为,则在上,的最小值为,最大值为;由二重积分的性质可知,; （2）若,域为,则在上,的最小值为,最大值为,因此.3.设,其中是矩形闭区域：,;,其中是矩形闭区域：,试利用二重积分的几何意义说明与之间的关系.解 设函数,则积分的几何意义是在矩形域上以曲面为曲顶的曲顶柱体体积. 由于域关于（即轴）对称,而函数是的偶函数（即曲面关于面对称）,因此 = ,推荐精选其中域为,. 同理,关
2、于对称,是的偶函数,因此, =于是=4,即.第二节 二重积分的计算1.填空 （1）改变积分次序 =. （2）改变积分次序 =+ =. 若,则=.（3）设：,则应把二重积分化为先对后对的二次积分 =4. （4）二重积分=. （5）二重积分= =.2.画出积分区域,并计算下列二重积分. （1）,其中是闭区域,.推荐精选 解 原式= =. （2）,其中是由直线,所围成的闭区域. 解 将视为型区域,则：,. 原式= =. （3）,其中是由不等式,所确定的闭区域. 解 原式=.易犯的错误是：认为积分区域是关于轴对称的,因此原积分等于在域内第一象限部分域上积分的2倍,即原式=2 , = 此解错在没有被积函
3、数的奇偶性,只有积分区域的对称性,就乱用对称性简化计算.（4）,其中是由曲线,和围成的闭区域. 解 =.3.计算积分的值. 解 由于函数的原函数不是初等函数,故需交换积分次序,积分区域为由所围成的区域,故 原式=.4.设为以点为顶点的三角形,为在第一象限部分,试将化为上的积分.推荐精选 解 如图9.1所示,将积分区域分为与两部分,其中为三角形,为三角形.显然关于轴对称,关于轴对称,又因为函数关于,均为奇函数,所以=0, =0.故 =+=0.又函数关于为偶函数,关于为奇函图 9.1数, 所以=2,=0. 综上所述, =2.5.证明：=.分析 因为欲证等式的左端为累次积分,等式右端为定积分,因此,
4、应从左端出发证明， 作一次积分,化为定积分,使之与右端定积分相等. 但原累次积分的被积函数含有抽象函数,无法关于先积分,故考虑改变积分次序.解 =.6.求下列空间域的体积. （1）由四个平面所围成的柱体被平面及截得的立体. 解 曲顶柱体以为底,以为顶面,故所求立体体积 =6-1-=. （2）由曲面及围成的立体. 解 两曲面的交线满足方程组 消去,得.所求立体的体积推荐精选 = =3=3 =.7.画出积分区域,并且把积分表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域是： （1） , ;解 积分区域如图9.2(a)所示,其边界曲线及在极坐标下的方程分别为及.原积分= 图 9.2（a）图 9.2（b） 易
5、犯的错误是：积分区域如图9.2(b)所示.原积分=.此错误是由作图不准确造成的. （2）由曲线,及围成的闭区域（）.解 积分区域如图9.3所示,曲线图 9.3及在极坐标下的方程分别为及. 原积分=推荐精选+. 易犯的错误是：原积分=.8.计算,其中：. 解 积分区域关于轴,轴均对称,被积函数关于,均为偶函数,故 =4（为位于第一象限的部分） =4=.9.选择适当的坐标计算下列各题. （1）,其中是圆环形闭区域：.解 原式=.（2）,其中是由曲线和在第一象限所围成的区域. 解 = =.（3）,是由圆周,及直线所围成的在第一象限内的区域.解 =.（4） ,其中是由直线,所围成的闭区域. 解 原式=
6、推荐精选= =.易犯的错误时：认为积分区域如图9.4所示. 原式=图 9.4+.此错误是由画图不准确造成的.（5） ,其中是直线,及曲线所围成的平面区域.解1 区域及如图9.5所示,有 =- = =4-=4-22图 9.5 =4-.解2 如图9.5所示, = =4- =4-.10.求由圆和心形线所围图形（在圆外部分）的面积.解 由得交点：,.面积 =推荐精选 =.11.设平面薄片所占的闭区域是由螺线上一段弧与直线所围成,它的面密度.求此薄片的质量.解 质量=.第三节 三重积分的计算1.化为三次积分,其中积分区域分别是： （1）由双曲抛物面及平面,所围成的闭区域. （2）由曲面,及平面,所围成的
7、闭区域.解 （1）由消去,得,即或.因此空间域是以为下曲面,为上曲面,侧面是柱面,.因此原式=.（2）积分区域可表示为 ,所以 .2.计算,其中由,和所围成的闭区域.解 将积分区域向平面投影得：,则可表示成,故=推荐精选 =.3.计算,其中是由锥面与平面所围成的闭区域.解1 积分区域如图9.6所示,用竖坐标为的平面截域,得圆域,其面积为,采用“先二后一法”计算.图 9.6= =.解2 积分域的边界曲面在柱面坐标下的方程分别为及.利用柱面坐标计算.原式= =.易犯的错误是：（1）在柱面坐标下,原式=.关于的积分上、下限错误. （2）采用“先二后一法”.=.关于,积分的积分域错误,积分域应为.特别
8、注意,将被积函数用表达式代入也是错误的.4.计算,其中是由平面,以及抛物柱面所围成的闭区域.推荐精选解1 按先再后积分. 原式=其中为奇函数再对称区间上的积分,其值为0.解2 按先再后积分. 原式=其中.解3 按先再后积分. 原式=5填空题.设由球面与锥面围成,则三重积分在三种坐标系下分别可化为三次积分如下： 直角坐标系下： 柱面坐标系下： 球面坐标系下： .6.利用柱面坐标计算下列三重积分. （1）,其中为由,所确定. 解 = =.推荐精选 （2）,其中为由曲面及所围成的闭区域. 解 由消去,得， = =. （3）, 其中为由曲面,所围成的闭区域.解 原式=.7.利用球面坐标计算下列三重积分
9、： （1）,其中是由球面所围成的闭区域. 解 球面在球面坐标下的方程为. 原式=. （2）,其中是由不等式：,所确定. 解 曲面及在球面坐标下的方程分别为及. 原式= =.8.选择适当的坐标计算下列三重积分. （1）,其中是由曲面,所围成的闭区域. 解 采用“先二后一法”计算.推荐精选 = =. （2）,其中由不等式：,所确定. 解1 曲面及在球面坐标下的方程分别为及. 原式=. 解2 曲面及在柱面坐标下的方程为及. 原式=. （3）,其中是和的公共部分. 解1 球面及在球面坐标下的方程分别为及.由解得 . 原式=+ = =. 解2 采用“先二后一法”计算. 原式=推荐精选 =.第四节 重积分
10、的应用1.求锥面被柱面所割下部分的曲面面积. 解 由消去,得D的边界：.所求曲面面积 =.2.求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围成立体的表面积. 解1 所求曲面在第一卦限内的图形如图9.7所示.面积为 图 9.7 .解2 由消去,得.对于曲面,所求曲面的面积为 .3.设平面薄片所占的闭区域由曲线,围成,求该均匀薄片的重心. 解 ,. ,推荐精选 , , 因此，故重心坐标为=.4.设平面薄片所占的闭区域由直线,和轴所围成,它的面密度,求该薄片的质量. 解 质量为 .5.利用三重积分计算. (1) 由曲面及所围成的立体体段. 解 采用柱面坐标计算 . （2）由曲面,所围匀质物体的重心. 解 匀质物体的重心即形心,且形心在对称轴-z轴上,因此,.其中. =.推荐精选于是.重心坐标为（）.6.求半径为、高为的均匀圆柱体绕过中心而垂直于母线的轴的转动惯量（设密度）. 解 建立坐标系,使圆柱体的对称轴在轴上,且原点在其中心.则所求转动惯量为 = = （其中为圆柱体质量）第九章 重积分（总习题）1.计算,. 解1 . 解2 .2.计算,其中由,及围成.解1 推荐精选 .解2 .1-113.计算 解1 （图9.8）图 9
