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1、第一章热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数,压强系数和等温压缩系数。解：已知理想气体的物态方程为 （1）由此易得 （2） （3） （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数，根据下述积分求得：如果，试求物态方程。解：以为自变量，物质的物态方程为其全微分为 （1）全式除以，有根据体胀系数和等温压缩系数的定义，可将上式改写为 （2）上式是以为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 （3）若，式（3）可表为 （4）选择图示的积分路线，从积分到，再积分到（），相应地体积由最终变到，有即（常量），或 （5）式（5）就是由所给求得的物态
2、方程。 确定常量C需要进一步的实验数据。1.8 满足的过程称为多方过程，其中常数名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量为解：根据式（），多方过程中的热容量 （1）对于理想气体，内能U只是温度T的函数，所以 （2）将多方过程的过程方程式与理想气体的物态方程联立，消去压强可得（常量）。 （3）将上式微分，有所以 （4）代入式（2），即得（5）其中用了式（）和（1.7.9）。1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数。假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。解：根据热力学第一定律，有 （1）对于准静态过程有对理想气体有气体在过程中吸收的热量为因
3、此式（1）可表为 （2）用理想气体的物态方程除上式，并注意可得 （3）将理想气体的物态方程全式求微分，有 （4）式（3）与式（4）联立，消去，有 （5）令，可将式（5）表为 （6）如果和都是常量，将上式积分即得（常量）。 （7）式（7）表明，过程是多方过程。1.12 假设理想气体的是温度的函数，试求在准静态绝热过程中的关系，该关系式中要用到一个函数，其表达式为解：根据式（），理想气体在准静态绝热过程中满足 （1）用物态方程除上式，第一项用除，第二项用除，可得 （2）利用式（）和（），可将式（2）改定为 （3）将上式积分，如果是温度的函数，定义 （4）可得（常量）， （5）或（常量）。 （6）式
4、（6）给出当是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中T和V的关系。1.13 利用上题的结果证明：当为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为解：在是温度的函数的情形下，1.9就理想气体卡诺循环得到的式（）（1.9.6）仍然成立，即仍有 （1） （2） （3）根据1.13题式（6），对于1.9中的准静态绝热过程（二）和（四），有 （4） （5）从这两个方程消去和，得 （6）故 （7）所以在是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为 （8）1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。解：假设在图中两条绝热线交于点，如图所示。设想一等温线与两条绝热线分别交于点和点（因为等温线的斜率小
5、于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程中，系统在等温过程中从外界吸取热量，而在循环过程中对外做功，其数值等于三条线所围面积（正值）。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有。这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。 因此两条绝热线不可能相交。1.17 温度为的1kg水与温度为的恒温热源接触后，水温达到。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使参与过程的整个系统的熵保持不变，应如何使水温从升至？已知水的比热容为解：的水与温度为的恒温热源接触后水温升为，这一过程是不可逆过程。为求水
6、、热源和整个系统的熵变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变化，通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。为求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温度分布在与之间。令水依次从这些热源吸热,使水温由升至。在这可逆过程中,水的熵变为 （1）水从升温至所吸收的总热量为为求热源的熵变，可令热源向温度为的另一热源放出热量。在这可逆过程中，热源的熵变为 （2）由于热源的变化相同，式（2）给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。则整个系统的总熵变为（3） 为使水温从升至而参与过程的整个系统的熵保持不变，应令水与温度分布在与之间的一系列热源吸热。水的熵变仍由式
7、（1）给出。这一系列热源的熵变之和为 （4）参与过程的整个系统的总熵变为 （5）1.19 均匀杆的温度一端为，另一端为，试计算达到均匀温度后的熵增。解：以L表示杆的长度。杆的初始状态是端温度为，端温度为，温度梯度为（设）。 这是一个非平衡状态。通过均匀杆中的热传导过程，最终达到具有均匀温度的平衡状态。为求这一过程的熵变，我们将杆分为长度为的许多小段，如图所示。位于到的小段，初温为 （1）这小段由初温T变到终温后的熵增加值为（2）其中是均匀杆单位长度的定压热容量。根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为 （3）式中是杆的定压热容量。1.21 物体的初温，高于热源的温度，有一热机在此物体与热源之间工
8、作，直到将物体的温度降低到为止，若热机从物体吸取的热量为Q，试根据熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为其中是物体的熵减少量。解：以和分别表示物体、热机和热源在过程前后的熵变。由熵的相加性知，整个系统的熵变为由于整个系统与外界是绝热的，熵增加原理要求 （1）以分别表示物体在开始和终结状态的熵，则物体的熵变为 （2）热机经历的是循环过程，经循环过程后热机回到初始状态，熵变为零，即 （3）以表示热机从物体吸取的热量，表示热机在热源放出的热量，表示热机对外所做的功。 根据热力学第一定律，有所以热源的熵变为 （4）将式（2）（4）代入式（1），即有 （5）上式取等号时，热机输出的功最大，故 （6）式
9、（6）相应于所经历的过程是可逆过程。1.22 有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为。今令一制冷机在这两个物体间工作，使其中一个物体的温度降低到为止。假设物体维持在定压下，并且不发生相变。试根据熵增加原理证明，此过程所需的最小功为解： 制冷机在具有相同的初始温度的两个物体之间工作，将热量从物体2送到物体1,使物体2的温度降至为止。以表示物体1的终态温度，表示物体的定压热容量，则物体1吸取的热量为 （1）物体2放出的热量为 （2）经多次循环后，制冷机接受外界的功为 （3）由此可知，对于给定的和，愈低所需外界的功愈小。 用和分别表示过程终了后物体1，物体2和制冷机的熵变。由熵的相加性和熵增加
10、原理知，整个系统的熵变为 （4）显然因此熵增加原理要求 （5）或 （6）对于给定的和，最低的为代入（3）式即有 （7）式（7）相应于所经历的整个过程是可逆过程。1.23 简单系统有两个独立参量。 如果以为独立参量，可以以纵坐标表示温度，横坐标表示熵，构成图。图中的一点与系统的一个平衡态相对应，一条曲线与一个可逆过程相对应。试在图中画出可逆卡诺循环过程的曲线，并利用图求可逆卡诺循环的效率。解： 可逆卡诺循环包含两个可逆等温过程和两个可逆绝热过程。 在图上，等温线是平行于T轴的直线。 可逆绝热过程是等熵过程，因此在图上绝热线是平行于S轴的直线。 图1-5在图上画出了可逆卡诺循环的四条直线。（一）等
11、温膨胀过程工作物质经等温膨胀过程（温度为）由状态到达状态。 由于工作物质在过程中吸收热量，熵由升为。吸收的热量为 （1）等于直线下方的面积。（二）绝热膨胀过程工作物质由状态经绝热膨胀过程到达状态。过程中工作物质内能减少并对外做功，其温度由下降为，熵保持为不变。（三）等温压缩过程工作物质由状态经等温压缩过程（温度为）到达状态。工作物质在过程中放出热量，熵由变为，放出的热量为 （2）等于直线下方的面积。（四）绝热压缩过程工作物质由状态经绝热压缩过程回到状态。温度由升为，熵保持为不变。在循环过程中工作物质所做的功为 （3）等于矩形所包围的面积。可逆卡诺热机的效率为（4） 上面的讨论显示，应用图计算（可逆）卡诺循环的效率是非常方便的。实际上图的应用不限于卡诺循环。根据式（） （5）系统在可逆过程中吸收的热量由积分 （6）给出。如果工作物质经历了如图中的（可逆）循环过程，则在过程中工作物质吸收的热量等于面积，在过程中工作物
