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1、专题能力训练14空间中的平行与垂直专题能力训练第32页一、能力突破训练1.(2017全国,文6)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是() 答案：A解析：易知选项B中,ABMQ,且MQ平面MNQ,AB平面MNQ,则AB平面MNQ;选项C中,ABMQ,且MQ平面MNQ,AB平面MNQ,则AB平面MNQ;选项D中,ABNQ,且NQ平面MNQ,AB平面MNQ,则AB平面MNQ,故排除选项B,C,D.故选A.2.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B
2、,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在AEF内的射影为O.则下列说法正确的是()A.O是AEF的垂心B.O是AEF的内心C.O是AEF的外心D.O是AEF的重心答案：A解析：如图,易知PA,PE,PF两两垂直,PA平面PEF,从而PAEF,而PO平面AEF,则POEF,EF平面PAO,EFAO.同理可知AEFO,AFEO,O为AEF的垂心.3.已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,给出下列命题:若,m,则m;若m,n,且mn,则;若m,m,则;若m,n,且mn,则.其中正确命题的序号是()A.B.C.D.答案：B解析：当,m时,有m,m,m等多种可能情况,所以不正确;当m,n,且m
3、n时,由面面垂直的判定定理知,所以正确;因为m,m,所以,正确;若m,n,且mn,则或,相交,不正确.故选B.4.平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案：A解析：(方法一)平面CB1D1,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD=m,平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,mB1D1.平面CB1D1,平面ABB1A1平面DCC1D1,平面ABB1A1=n,平面CB1D1平面DCC1D1=CD1,nCD1.B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即B1D1C等于m,n
4、所成的角.B1D1C为正三角形,B1D1C=60,m,n所成的角的正弦值为.(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF平面CB1D1,所以平面AEF即为平面,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为AEF是正三角形,所以EAF=60,故m,n所成角的正弦值为.5.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PEAC,则动点P的轨迹的周长为.答案：+解析：如图,取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG,FG.设EF交AC于点H,连接GH,易知
5、ACEF.又GHSO,GH平面ABCD,ACGH.又GHEF=H,AC平面EFG.故点P的轨迹是EFG,其周长为+.6.下列命题正确的是.(填上你认为正确的所有命题的序号)空间中三个平面,若,则;若a,b,c为三条两两异面的直线,则存在无数条直线与a,b,c都相交;若球O与棱长为a的正四面体各面都相切,则该球的表面积为a2;在三棱锥P-ABC中,若PABC,PBAC,则PCAB.答案：解析：中也可以与相交;作平面与a,b,c都相交;中可得球的半径为r=a;中由PABC,PBAC得点P在底面ABC的射影为ABC的垂心,故PCAB.7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB
6、=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.(1)证明由已知得AM=AD=2.取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TNBC,TN=BC=2.又ADBC,故TNAM,四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(2)解因为PA平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AEBC,AE=.由AMBC得M到BC的距离为,故SBCM=4=2.所以四面体N-B
7、CM的体积VN-BCM=SBCM=.8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC.(1)求证:DC平面PAC;(2)求证:平面PAB平面PAC;(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA平面CEF?说明理由.(1)证明因为PC平面ABCD,所以PCDC.又因为DCAC,所以DC平面PAC.(2)证明因为ABDC,DCAC,所以ABAC.因为PC平面ABCD,所以PCAB.所以AB平面PAC.所以平面PAB平面PAC.(3)解棱PB上存在点F,使得PA平面CEF.证明如下:取PB中点F,连接EF,CE,CF.又因为E为AB的中点,所以EFPA.又因为PA
8、平面CEF,所以PA平面CEF.9.(2017天津,文17)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD平面PDC,ADBC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;(2)求证:PD平面PBC;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.(1)解如图,由已知ADBC,故DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD平面PDC,所以ADPD.在RtPDA中,由已知,得AP=,故cosDAP=.所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为.(2)证明因为AD平面PDC,直线PD平面PDC,所以ADPD.又因为BCAD,所以PDBC.又PDPB,所以PD
9、平面PBC.(3)解过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于ADBC,DFAB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=2.又ADDC,故BCDC,在RtDCF中,可得DF=2,在RtDPF中,可得sinDFP=.所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.10.(2017北京,文18)如图,在三棱锥P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PABD;(2
10、)求证:平面BDE平面PAC;(3)当PA平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.(1)证明因为PAAB,PABC,所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC,所以PABD.(2)证明因为AB=BC,D为AC中点,所以BDAC.由(1)知,PABD,所以BD平面PAC.所以平面BDE平面PAC.(3)解因为PA平面BDE,平面PAC平面BDE=DE,所以PADE.因为D为AC的中点,所以DE=PA=1,BD=DC=.由(1)知,PA平面ABC,所以DE平面ABC.所以三棱锥E-BCD的体积V=BDDCDE=.二、思维提升训练11.如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=,AB=BC=AD=
11、a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将ABE沿BE折起到图中A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.图图(1)证明:CD平面A1OC;(2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36,求a的值.(1)证明在题图中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,BAD=,所以BEAC.即在题图中,BEA1O,BEOC,从而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,又由(1),A1OBE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由题图知,A1O=AB=a,平行四边形BC
12、DE的面积S=BCAB=a2.从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=SA1O=a2a=a3,由a3=36,得a=6.12.如图,AB是圆O的直径,点C是的中点,点V是圆O所在平面外一点,D是AC的中点,已知AB=2,VA=VB=VC=2.(1)求证:OD平面VBC;(2)求证:AC平面VOD;(3)求棱锥C-ABV的体积.(1)证明O,D分别是AB和AC的中点,ODBC.又OD平面VBC,BC平面VBC,OD平面VBC.(2)证明VA=VB,O为AB中点,VOAB.在VOA和VOC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,VOAVOC,VOA=VOC=90,VOOC.ABOC=O,AB平面ABC,
13、OC平面ABC,VO平面ABC.又AC平面ABC,ACVO.VA=VC,D是AC的中点,ACVD.VO平面VOD,VD平面VOD,VOVD=V,AC平面VOD.(3)解由(2)知VO是棱锥V-ABC的高,且VO=.点C是的中点,COAB,且CO=1,AB=2,ABC的面积SABC=ABCO=21=1,棱锥V-ABC的体积为VV-ABC=SABCVO=1=,故棱锥C-ABV的体积为.13.已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,点D为AC的中点,点E在线段AA1上.(1)当AEEA1=12时,求证:DEBC1.(2)是否存在点E,使三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的?若存在,求AE的长,若不存在,请说明理由.(1)证明因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以ABC是正三角形.因为D是AC的中点,所以BDAC.又平面ABC平面CAA1C1,所以BDDE.因为AEEA1=12,AB=2,AA1=,所以AE=,AD=1,所以在RtADE中,ADE=30.在RtDCC1中,C1DC=60,所以EDC1=90,即DEDC1.因为C1DBD=D,所以DE平面BC1D,所以DEBC1.(2)解假设存在点E满足题意.设AE=h,则A1E=-h,所以=-SAED-=2-h-(-h)-=+h.因为
