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1、向量在代数解题中的应用宜昌市十三中 马小平 刘姣蓉教材中平面向量、空间向量的知识在几何中的应用相当广泛。说起向量，学生就不由自主的想到其在立几中的应用，其实向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，这就使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介，利用向量这一工具可巧妙而简捷地处理多种题型。向量法解题,可激发学生学习兴趣,拓宽学生的思维,培养学生的创新意识和能力。下面就介绍这方面的应用。一、在代数求值中的应用例1 设a，b，c，x，y，z均为实数，且 ， ，求的值。解：由题设条件，设=(6a,6b),由得： ，即，变形整理得：。同理,。所以= 二、在解方程中的应用例2
2、解方程解：设由于，得即有 代入原方程有，将代入方程组可求得原方程的唯一一个根为：x=1三、在证明恒等式中的应用例3 已知a、b，且，求证：。分析：题设与结论都与1有关，由题设联想到向量证明：构造向量，因为，所以又由条件知，所以，即 ,所以四、在证明不等式中的应用例4. 已知a，b，c，且，求证。解：构造向量所以, 由向量不等式得:6=即五、在函数最值中的应用例5. 求函数的最大值。解：构造向量由得当且仅当，即时， 例6 求函数的最大值。解：令，则故当且仅当与同方向，即时取等号，解得x=。所以当时，取得最大值12。例7. 求函数的最小值。解：构造向量由得： 当且仅当a与b同向平行时等式成立所以（此时）六、在三角中的应用例8. 求函数的最值。解：原式可化为:,令构造向量则即所以七、在数列中的应用例9 给定正整数n和正数M，对于满足条件的所有等差数列，试求的最大值。解：由题意知= =令，则 ，因为，所以，所以 。当且仅当同向，且时，等号成立。由， 解得故当时，S取得最大值。
