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1、2014全国卷(文科数学)12014全国卷 设集合M1，2，4，6，8，N1，2，3，5，6，7，则MN中元素的个数为() A2 B3C5 D71B解析 根据题意知MN1，2，4，6，81，2，3，5，6，71，2，6，所以MN中元素的个数是3.22014全国卷 已知角的终边经过点(4，3)，则cos ()A. B.C D2D解析 根据题意，cos .3、2014全国卷 不等式组的解集为()Ax|2x1 Bx|1x0Cx|0x1 Dx|x13C解析 由得即0x1，所以yR，所以函数yln(1)(x1)的反函数是y(ex1)3(xR)62014全国卷 已知a，b为单位向量，其夹角为60，则(2a
2、b)b()A1 B0C1 D26B解析 因为a，b为单位向量，且其夹角为60，所以(2ab)b2abb22|a|b|cos 60|b|20.72014全国卷 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A60种 B70种C75种 D150种7C解析 由题意，从6名男医生中选出2名，5名女医生中选出1名组成一个医疗小组，不同的选法共有CC75(种)82014全国卷 设等比数列an的前n项和为Sn.若S23，S415，则S6()A31 B32C63 D648C解析 设等比数列an的首项为a，公比为q，易知q1，根据题意可得解得q24，1，所以S6(
3、1)(143)63.92014全国卷 已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4 ，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.19A解析 根据题意，因为AF1B的周长为4，所以|AF1|AB|BF1|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4，所以a.又因为椭圆的离心率e，所以c1，b2a2c2312，所以椭圆C的方程为1.10、2014全国卷 正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16C9 D.10A解析 如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AEAC.设球心为O，球的半
4、径为R，则OE4R，OAR.又因为AOE为直角三角形，所以OA2OE2AE2，即R2(4R)22，解得R，所以该球的表面积S4R242.112014全国卷 双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于()A2 B2 C4 D4 11C解析 易知双曲线1的渐近线方程是yx，不妨设焦点(c，0)到其中一条渐近线xy0的距离为，则，整理得b.又双曲线C的离心率e2，c2a2b2，所以c2，即2c4，即双曲线C的焦距等于4.122014全国卷 奇函数f(x)的定义域为R.若f(x2)为偶函数，且f(1)1，则f(8)f(9)()A2 B1C0 D112D解析 因为f(x
5、2)为偶函数，所以其对称轴为直线x0，所以函数f(x)的图像的对称轴为直线x2.又因为函数f(x)是奇函数，其定义域为R，所以f(0)0，所以f(8)f(4)f(4)f(0)0，故f(8)f(9)0f(5)f(5)f(1)f(1)1.132014全国卷 (x2)6的展开式中x3的系数为_(用数字作答)13160解析 (x2)6的展开式的通项为Tr1Cx6r(2)r，令6r3，解得r3.因为C(2)3160，所以x3的系数为160.14、2014全国卷 函数ycos 2x2sin x的最大值为_14.解析 因为ycos 2x2sin x12sinx22sin x2，所以当sin x时函数ycos
6、 2x2sin x取得最大值，最大值为.152014全国卷 设x，y满足约束条件则zx4y的最大值为_155解析 如图所示，满足约束条件的可行域为ABC的内部(包括边界)，zx4y的最大值即为直线yxz的截距最大时z的值结合题意知，当yxz经过点A时，z取得最大值，联立xy0和x2y3，可得点A的坐标为(1，1)，所以zmax145.16、2014全国卷 直线l1和l2是圆x2y22的两条切线若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于_16.解析 如图所示，根据题意知，OAPA，OA，OP，所以PA2 ，所以tan OPA，故tan APB，即l1与l2的夹角的正切值等于.
7、172014全国卷 数列an满足a11，a22，an22an1an2.(1)设bnan1an，证明bn是等差数列；(2)求an的通项公式17解：(1)由an22an1an2，得an2an1an1an2，即bn1bn2.又b1a2a11，所以bn是首项为1，公差为2的等差数列(2)由(1)得bn12(n1)，即an1an2n1.于是(2k1)，所以an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以an的通项公式ann22n2.18、2014全国卷 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C2ccos A，tan A，求B.18解：由题设和正弦定理得3sin Acos C2si
8、n Ccos A，故3tan Acos C2sin C.因为tan A，所以cos C2sin C，所以tan C，所以tan Btan180(AC)tan(AC)1，所以B135.19、2014全国卷 如图11所示，三棱柱ABC A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，ACB90，BC1，ACCC12.(1)证明：AC1A1B；(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1 AB C的大小图1119解：方法一：(1)证明：因为A1D平面ABC，A1D平面AA1C1C，故平面AA1C1C平面ABC.又BCAC，平面AA1C1C平面ABCAC，所以BC平面AA1C1C.
9、连接A1C，因为侧面AA1C1C为菱形，故AC1A1C.由三垂线定理得AC1A1B.(2)BC平面AA1C1C，BC平面BCC1B1，故平面AA1C1C平面BCC1B1.作A1ECC1，E为垂足，则A1E平面BCC1B1.又直线AA1平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E.因为A1C为ACC1的平分线，故A1DA1E.作DFAB，F为垂足，连接A1F.由三垂线定理得A1FAB，故A1FD为二面角A1 AB C的平面角由AD1，得D为AC中点，所以DF，tanA1FD，所以cosA1FD.所以二面角A1 AB C的大小为arccos.方法二：以C为坐标原点，射
10、线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直线坐标系C xyz.由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内(1)证明：设A1(a，0，c)，由题设有a2，A(2，0，0)，B(0，1，0)，则(2，1，0)，(2，0，0)，(a2，0，c)，(a4，0，c)，(a，1，c)由|2，得2，即a24ac20.又a24ac20，所以AC1A1B.(2)设平面BCC1B1的法向量m(x，y，z)，则m，m，即mCB0，m0.因为(0，1，0)，(a2，0，c)，所以y0，且(a2)xcz0.令xc，则z2a，所以m(c，0，2a)，故点A到平面BCC1B1的距离为|cosm，
11、|c.又依题设，A到平面BCC1B1的距离为，所以c，代入，解得a3(舍去)或a1，于是(1，0，)设平面ABA1 的法向量n(p，q，r)，则n，n，即n0，n0，所以pr0，且2pq0.令p，则q2 ，r1，所以n(，2 ，1)又p(0，0，1)为平面ABC的法向量，故cosn，p，所以二面角A1 AB C的大小为arccos.20、2014全国卷 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用若要求“同一工作日需使用设备的人数大于
12、k”的概率小于0.1，求k的最小值20解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i0，1，2.B表示事件：甲需使用设备C表示事件：丁需使用设备D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备E表示事件：同一工作日4人需使用设备F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.(1)因为P(B)0.6，P(C)0.4，P(Ai)C0.52，i0，1，2，所以P(D)P(A1BCA2BA2BC)P(A1BC)P(A2B)P(A2BC)P(A1)P(B)P(C)P(A2)P(B)P(A2)P(B)P(C)0.31.(2)由(1)知，若k2，则P(F)0.310.1，P(E)P(BCA2)P(B)P(C
