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1、矩阵在实际生活中的应用【摘要】随着科学技术的开展，数学的应用越来越广泛，可以说和我们的 生活息息相关。而高等数学中的线性代数，也同样有着广泛的应用。 本篇论文中，我们就对线性代数中的矩阵在生产本钱、人口流动、加 密解密、计算机图形变换等方面的应用进行研究。【关键词】高等数学矩阵实际应用二.应用举例1. 生产本钱计算：在社会生产管理中经常要对生产过程中产生的 很多数据进行统计、处理、分析，以此来对生产过程进行了解和监控， 进而对生产进行管理和调控，保证正常平稳的生产以到达最好的经济 收益。但是得到的原始数据往往纷繁复杂， 这就需要用一些方法对数 据进行处理，生成直接明了的结果。在计算中引入矩阵可
2、以对数据进 行大量的处理，这种方法比拟简单快捷。例1.某工厂生产三种产品A、B C。每种产品的原料费、支付员工工 资、管理费和其他费用等见表1,每季度生产每种产品的数量见表 2 财务人员需要用表格形势直观地向部门经理展示以下数据：每一季度中每一类本钱的数量、每一季度三类本钱的总数量、 四个季度每类成 本的总数量。表1.生产单位产品的本钱元表2-每种产品各季度产量件本钱产品ABC原料费用102015支付工资304020管理及其他费用101510解 我们用矩阵的方法考虑产品季度春季夏季秋季冬季A2000300025002000B2800480037003000C2500350040002000这个
3、问题。两张表格的数据都可以表示成一个矩阵。如下所示:*102015、2000300025002000 |M =304020N =2800480037003000 1101510，以及即一年业人员的人数分别为 21.5万10.5万、8万人X2X1X019.05Y2 I = A y I = A2 y0 I = 11.1 IIZUzjizU 即两年后从事各业人员的人数分别为19.05万、11.1万、9.85万人。进而推得： Xn乂口篇X0Yn = A yn = An yI. II II I0eizu即n年之后从事各业人员的人数完全由An决定。在这个问题的求解过程中，我们应用到矩阵的乘法、转置等，将
4、一个实际问题数学化，进而解决了实际生活中的人口流动问题。这个问题看似复杂，但通过对矩阵的正确应用，我们成功的将其解决。不 得不说，矩阵是我们解决实际问题的重要工具。3.应用矩阵编制Hill密码密码学在经济和军事方面都起着极其重要的作用。在密码学中将 信息代码称为密码，没有转换成密码的文字信息称为明文， 把密码表 示的信息称为密文。从明文转换为密文的过程叫加密，反之那么为解密。 现在密码学涉及很多高深的数学知识。1929年，希尔Hill 通过矩阵理论对传输信息进行加密处理， 提出了在密码学史上有重要地位的希尔加密算法。下面我们介绍一下 这种算法的根本思想。假设我们要发出“attack 这个消息。
5、首先把每个字母a, b, c, d, x, y, z 映射到数 1, 2, 3, 4, 24, 25, 26。例如 1 表示 a, 3表示c, 20表示t , 11表示k，另外用0表示空格，用27表示句号 等。于是可以用以下数集来表示消息“ attack ：1, 20, 20, 1, 3, 11M = 2032011,把这个消息按列写成矩阵的形式:第一步：“加密工作。现在任选一个三阶的可逆矩阵，例如1 2 3A= 1 1 2A变成“密码B0 1 2于是可以把将要发出的消息或者矩阵经过乘以后发出。12 3 11101 40AM = 112 203 = 6126= B012 夕 2011J 602
6、5;第二步：“解密。解密是加密的逆过程，这里要用到矩阵 A的逆矩阵A1这个可逆矩阵称为解密的钥匙，或称为“密匙。当然矩阵A是通信双方都知道的。即用f 01A=1 21-2 -1从密码中解出明码：111 J01 T01 40、r 1A，B =2-2 M II 61 26=203 1= M1-1 11 J60 25J2011J通过反查字母与数字的映射，即可得到消息“ attack 。在实际应用中，可以选择不同的可逆矩阵，不同的映射关系，也可以把字母对应的数字进行不同的排列得到不同的矩阵， 这样就有多 种加密和解密的方式，从而保证了传递信息的秘密性。上述例子是矩 阵乘法与逆矩阵的应用，将高等代数与密
7、码学紧密结合起来。运用数 学知识破译密码，进而运用到军事等方面。可见矩阵的作用是何其强 大。4.计算机图形变换本学期我们学习了计算机图形学这门根底专业课程，其中接触到 很多与矩阵变换有关的知识，这激发了我们的学习兴趣。下面将简单 列举矩阵在这门课中的重要作用。在计算机中点的坐标用齐次向量坐标来表示，即用n+1维向量来表示n维向量。如点A (x,y,z )用齐次向量坐标表示为 A(x,y,z,1)。例3:在二维直角坐标系中有三角形 ABG坐标分别为(2, 3), (3, 1), (1, 1),现将其向x轴正方向平移2个单位，向y轴正方 向平移2个单位，求平移后各点对应的齐次坐标及相应的变换矩阵
8、?解：先写出 ABC三点所对应的齐次坐标，A ( 2,3,1 ) ,B(3,1,1),C(1,1,1) 经上述变换后，A点齐次坐标为4, 5, 1 B点齐次坐标为5,3,1 C点齐次坐标为3, 3, 1。平移的矩阵变换式为1x y 11- 5 y 1 】0Tx此处Tx=2 T y=2，那么变换矩阵为0 010 = x Tx y Ty 1xyTyb1000101221 ；可以看出图形的一种变换对应着一个矩阵运算，也就是说二维图形变换可以表示为图形点集的齐次坐标矩阵与某一变换矩阵相乘的 形式。我们可以定义以下二维变换矩阵：a b pT2D = c d q IJ m s这样，二维空间中的某点的二维变
9、换可以表示成点的标准化齐次坐标矩阵与三维齐次坐标变换矩阵 T2D相乘的形式，即a b px y z 11 - k y z 1T2D = x y z 1 c d qI .U m s根据T2D在变换中的具体作用，进一步可以将 T2D分成4个子矩阵。fa b、“,E一 、“矩阵I = 的作用是对点进行比例、对称、旋转和错切变换。9 d J矩阵T2 =m】的作用是对点进行平移变换。/ 、，山十p矩阵T3 =的作用是进行透视投影变换。矩阵T4 =的作用是产生整体比例变换。三.结束语通过这次论文的举例，加深了我对于矩阵的认识，深刻理解了矩阵在实际生活中的应用。矩阵在实际生活中的应用还有很多，在此就 不一一列举。通过这次的学习也加深了我对于数学的浓厚兴趣。参考文献1 上海交通大学数学系.线性代数第二版M.北京：科学出 版社，2007.2 陆枫，何云峰.计算机图形学根底M.北京：电子工业出版社， 2021.3 郭龙先，张毅敏，何建琼.高等代数M.北京：科学出版社，2021.4 林升旭，梅家斌.线性代数教程第二版M.华中科技大学 出版社，2021.
