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1、正切函数1.正切函数的图像(1)根据tan(x+)=tanx(其中xk+,kZ)推出正切函数的周期为.(2)根据tanx=,要使tanx有意义，必须cosx0,从而正切函数的定义域为xxk+,kZ(3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x(-,).利用单位圆中的正切线，通过平移，作出y=tanx,x(-,)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,xk+(kZ)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示.y=tanx2.余切函数的图像如下：y=cotx3.正切函数、余切函数的性质：正切函数y=tanx余切函数y=cotx定义域xxR且xk+,kZxxR且xk,kz值域RR周期性奇偶性奇奇单调性每个
2、区间(k-,k+)上递增(kZ)每个区间(k,(k+1)上递减(kZ).注：正切函数在每一个开区间(k-,k+)(kZ)内是增函数，但不能说成在整个定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此.【重点难点解析】本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切线作.因y=tanx定义域是xxR,xk+,kZ，所以它的图像被平行线x=k+(kZ)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的.1.正切函数应注意以下几点：(1)正切函数y=tanx的定义域是xxk+,kZ,而不是R，这点要特别注意：(2)正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(k-,k+)(kZ)上是连续
3、的；(3)在每一个区间(k-,k+)(kZ)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数.2.解正切不等式一般有以下两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域.例1 作出函数y=tanx的图像，并根据图像求其单调区间.分析：要作出函数y=tanx的图像，可先作出y=tanx的图像，然后将它在x轴上方的图像保留，而将其在x轴下方的图像向上翻(即作出关于x轴对称图像)，就可得到y=t
4、anx的图像.解：由于y=tanx= tanx,xZk,k+-tanx,x(k-,k)(kZ)所以其图像如图所示，单调增区间为k,k+(kZ);单调减区间为k-,k(kZ).说明：根据图像我们还可以发现：函数y=tanx的最小正周期为.一般地，y=Atan(x+)的最小正周期与y=Atan(x+)的最小正周期相同，均为.例2 求函数y=lg(tanx-)+的定义域.解：欲使函数有意义，必须tanx,2cosx+0,xk+(kZ)由此不等式组作图函数的定义域为(k+,k+).评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的
5、集合.三角函数线法则是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域.例3 求函数y=tan(2x-)的单调区间.解：y=tanx,x(-+k, +k)(kZ)是增函数.-+k2x-+k,kZ.即-+x+，kZ函数y=tan(2x-)的单调递增区间是(-+,+ ).(kZ)例4 求函数f(x)=tan(2x+)的周期.解：因为tan(2x+)=tan(2x+)即tan2(x+)+=tan(2x+)tan(2x+)的周期是.例5 求函数y=3tan(2x+)的对称中心的坐标.分析：y=tanx是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(,0
6、)(kZ).函数y=Atan(x+)的图像可由y=tanx经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为图像与x轴交点.解：由2x+= ,(kZ)得x=-(kZ)对称中心坐标为(-,0)(kZ)注意：函数y=Atan(x+)(A0,0)的图像及性质可与函数y=Asin(x+)(A0,0)的图像及性质加以比较研究.【难题巧解点拔】例 判断函数f(x)=tan(x-)+tan(x+)的奇偶性，并求此函数的周期及单调区间.分析：奇偶性的判断必须考虑定义域是否关于原点对称.是否对任意x有f(-x)=-f(x)，或f(-x)=f(x)成立；关于周期和单调性必须将函数化为一个三角函数的形式
7、方可求.解：此函数的定义域为xxR且xk+,kZ它是关于原点对称.又f(-x) =tan(-x+)+tan(-x-)=-tan(x-)-tan(x+)=-f(x)故此函数是奇函数.y=tan(x-)+tan(x+)=tan(x-)+(x+)1-tan(x-)tan(x+)=tan2x1+cot(x+)tan(x+)=2tan2xsin(-a)=cosacos(-a)=sinatan(-a)=cotacot(-a)=tana故tan-(x+)=cot(x+)即-tan(x-)=cot(x+)周期为当k-2xk+-x+(kZ)即x(-,+ )时，原函数是增函数.评析：此题的难点在于通过三角恒等化简
8、，将函数化为一个三角函数.同时要求同学们必须熟悉正切函数的性质.y=Atan(x+)(A0)的周期为T=.例2 已知1,求函数y=cot2x-2cotx+5的值域.分析：从已知条件的不等式中解出cotx的范围，然后在此条件下求被求函数的值域.解：由已知条件，可得0lg-9cos(x+)1.得-cos(x+)k+x+k+,kZ.k+xk+,kZ.0cotx y=cot2x-2cotx+5=(cotx-1)2+4当x=k+,kZ时，y取最小值4.当x=k+,kZ时，y取最大值5.从而函数y=cot2x-2cotx+5的值域是4,5.【典型热点考题】例1 满足tancot的角的一个取值区间是( )A
9、.(0，) B.0， C.， D.(，)分析：本考查正切函数单调性，应化同名函数，再化角为同一单调区间内.解：由选择项，可以考虑(0，)的性况.tantan(-),且, -(0, )-,.故选C.例2 函数y=的最小正周期是( )A. B. C.D.2解法1：将四个选项分别代入函数式验算，可知B正确.应选B.解法2：y=cos4xT=应选B.例3 函数y=+的定义域是 .解：x应满足2+logx0 x0 tanx0 xk+,kZ 由得0x4 由并注意到得0x40x或x0x或x4.应填(0，)，4例4 如果、(,),且tancot,那么必有( )A. B. C.+ D.+解：tancot0，ta
10、ntan1.有tan(+)=0有+(，)+.应选C.说明：本题也可采取化为同名函数的方法，或都取特殊值比如取=,可排除A、B、D.【同步达纲练习】一、选择题1.下列不等关系中，正确的是( )A.cot3cot4cot5 B.cot4cot3cot5B.cot4cot5cot3D.cot5cot4cot32.下列不等式中，正确的是( )A.tantanB.tan(-)tan(-)C.cot4cot3D.cot281cot6653.观察正切曲线，满足条件tanx1的x的取值范围是(其中kZ) ( )A.(2k-,2k+)B.(k,k+)C.(k-,k+)D.(k+,k+)4.函数y=tanx-co
11、tx的奇偶性是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数，也是偶函数D.非奇非偶函数5.如果，则sin,cos,tan的大小关系是( )A.sincostanB.cossintanC.tansincosD.costansin6.y=tanx+cotx的最小正周期是( )A.B. C. D.以上均不正确7.将函数y=tan2x的图像向右平移个单位后得到的图像的解析式为( )A.y=tan(2x+)B.y=tan(2x-)C.y=cot2xD.y=-cot2x8.若tan(2x-)1,则x的取值范围是( )A. -x+(kZ)B. -x+(kZ)C.k-xk+(kZ)D.k-xk+(kZ)9.函数f
12、(x)= 的定义域为( )A.(k,k+),kZB.(k-,k),kZC.(k,k+),kZD.以上均不正确10.下列命题中正确的是( )A.y=tanx在第一象限单调递增.B.在y=cotx中，x越大，y反而越小C.当x0时，tanx0.D.以上均不正确.11.函数y=tan(x-)在一个周期内的图像是( )12.函数f(x)=的最小正周期是( )A.4B.2C.D. 二、填空题1.使函数y=tanx和y=cosx同时为单调递增函数的区间是 .2.满足tancot的角的范围是 .3.函数y=3tan(x-)的定义域是 ，值域是 .4.函数y=sinx+cotx的图像关于 对称.三、解答题：1.求下列函数的定义域：(1)y= (2)y=(3)y=2.求函数y=的值域.3.求函数y=-2tan(3x+)的定义域、值域，并指出它的周期性，奇偶性和单调性.4.已知f(x)=tan(2x-b)的图像的一个对称中心为(，0)，若b，求b的值.【素质优化训练】1.解不等式3tan2(2x-)-(3-)tan(2x-)-0.2.已知函数f(x)=tan(x+),且对于定义域内任何实数x，都有f(x)=f(
