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1、传播优秀Word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！复变函数的应用数学与应用数学 班 数学是一门很抽象的学科，而复变函数更是如此，如果直接想象很难和实际联系起来。经过两年的大学学习就目前学习的知识而言，感觉和复变函数联系比较紧密的是有两方面，一是电流方面；二是在信号方面。 我们日常中的电流都是交流三相的，而相位如果通过三角函数计算的话较为复杂和抽象，很多工程问题无法解决，引入虚数则较大简化了计算的过程，是很多工程问题迎刃而解。可以通过RCL电路我们也用虚数去处理相角关系，但电感本身并不是虚的。这是人为的定义，但这也在一定意义上揭示了虚数有可能存在的某些物理特征。成功而且巧妙的解决了电流的相位
2、问题。 我们打电话，发短信是通过电磁波传递信号，在信号方面也极大的应用了复变函数。信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z）表示给定频率的正弦波的相位。利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：其中对应角频率，复数z包含了幅度和相位的信息。于是当我们要的信息得以传递。 所以，不管是我们使用家用电器，用手机问候远方的朋友，还是使用卫星电视观看电视剧，我们无时无刻不在接触着这位很抽象而无处不在的朋友复变函数。 一、复变函数的简介复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数
3、开平方的情况,它的一般形式是：，其中是虚数单位。多复分析是数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，它和单复变函数有着很强的渊源，但其特有的困难和复杂性，导致在研究的重点和方法上，都和单复变函数论有明显的区别.因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性质的逐步的转移.它广泛地使用着微分几何学、代数几何、拓扑学、微分方程等相邻学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数论的全面发展是在十九世纪，这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时
4、的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一.为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的Laplace也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱.。二、复变函数的应用近代有些函数论研究工作是考虑把具有某种性质的一族函数合在一起研究。事实上，P蒙泰尔的解析函数正规族就应属于这种类型的研究，并且显示了其威力.从这种观点出发的研究有了很大发展.它与其他数学分支产生了较密切的联系.复变函数理论从一个变数推广到多个变数是十分自然的想法，总称为复分析.但是多变数时，定义域的复杂性大大增加了，函数的性质较之单变数时
5、也有显著的差异，它的研究需要借助更多的近代数学工具.。传播优秀Word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！从柯西算起，复变函数论已有了150年的历史.它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分.它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中.它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程.复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。 物理学中的流体力学，稳定平面长，航空力学等学科的发展，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论.复变函数论已经深入到微积分方程，数论等学科，对它们的发展很有影响.现如今.复变函数论中仍有不少尚
6、待研究的课题，它将在更多数学家们的不懈努力下，继续向前发展，并将取得更多应用.比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献.复变函数理论以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个非常重要组成部分.它推动了许多学科的发展，在解决某些实际问题中也是强有力的工具，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。 复变函数理论推动了许多学科的发展，在解决某些实际问题中也是强有力的工具，复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学，弹性理论中的平面问题的有力工具
7、。而自然科学和生产技术的发展有极大的推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。复变函数的主要内容已成为理工科很多专业的必修课程。 复变函数在很多领域都有重要的应用，其涵盖面极广，甚至可以用来解决一些复杂的计算问题。复变函数可以应用在地理信息系统中，因为GIS对复杂函数的计算要求以及空间函数的分析，复变函数的应用也渗透到了这个领域，它对复杂函数的计算能力使得在GIS上的应用也不可或缺。 GIS的操作对象是空间数据和属性数据，即点线，面，体这类有三维要素的地理实体。空间数据的最根本特点是每一个数据都按统一的地理坐标进行编码，实现对其定位，定性和定量的描述，这是其技术难点之所在。而复变函数中的黎曼曲面理
8、论就是用来解决这种问题的。复变函数研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面，利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能做出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。 复变函数作为最丰饶的数学学科的分支，复变函数在数学领域的应用尤为可见。特别是在解析函数的微分理论，积分理论等方面的应用，而在这些方面，它与一个实际的电路是一一对应的关系，是为我们求解响应与激励的关系服务的，这也就是它的基础应用。 针对连续系统和离散系统的时域分析，相对应的有三个变换域或傅立叶变换，拉普
9、拉斯变换和Z变换。变换域是信号与系统的核心内容，也是比较难的一部分，原因是变换域的分析方法涉及到工程数学的知识很多，如果没有扎实的基础，学起来就有一定的难度。 复变函数中还有很多知识点都可以对应到电路中，这可以使我们在求解电路问题时，使问题变得简单化。例如：积分变换可以把微分方程变换成初等方程，这样就可以使求解方便得多，减少大量的计算，使复杂的问题简单化。另外在求线性系统的响应时，用积分变换也是十分方便的，因为用积分变换不需要考虑初始状态，直接运用积分变换来求解就可以了，减少了很多思考的过程，加快速度。运用复变函数，可以实现时域和频域两者之间的转换，当在解决谐波问题时，就方便了对谐波进行分析计
10、算；使用复频域的状态变量解法可以方便的用计算机对系统进行求解传播优秀Word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！。 总的来说，复变函数的应用主要包括两个方面：一个方面是在物理学中的应用；另一方面是在数学领域中的应用。1、物理学中复变函数在静电场中的应用复变函数在静电场问题中的应用： 在电磁场的学习中，“静电场的标量位”中接触到了复变函数在静电场问题中的应用。即如果一个系统为场量和源量分布只与x和y有关的二维静电场系统。因为在二维无源区域内，静电位满足二维拉普拉斯方程，即我们发现，此时的点位是一个调和函数，通过复变学习我们已经知道，解析函数的实部和虚部都是调和函数，而且是一对共轭的调和函数。因
11、此，我们可以使用复变函数这一数学工具来解决二维静电场问题。 由此在电磁场中引出了复电位的概念，若，则 （1） （2）只要利用解析函数应满足的柯西-黎曼条件，即 就可以导出式（1）和（2），可以证明，实部函数和虚部函数的等值线族是相互正交的。由正交特性，可以将平面上的电场强度放在复平面上来考察，也就是可以将写成复数形式其中便是复电位的概念。 利用复变位可以反映静电场分布情况，这是通过与已知静电场问题的解相对比而得到的。如果有一些有复杂边界的静电系统，则不能通过这种对比方法来求复电位，这时编引入了常用的保角变换，利用保角变换可以把一些具有复杂边界的静电系统变换为有简单边界的典型静电系统。 运用保角
12、运算计算系统的复电位的思路是这样的：将复杂边界的静电系统变换为有简单边界的典型静电系统，由于典型静电系统的复电位容易求解，运用复杂边界与简单边界的关系，求出典型系统的静电位之后，就可以通过反变来得到原系统的复电位了。当然，能够运用这种思想需要的理论基础是黎曼定理和互为单值对应原理。传播优秀Word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！ 许瓦兹-克瑞斯托弗尔变换也是一种平面之间的转换关系，它可以将z平面上的一个任意多边形区域变换为w平面的上半平面的一种变换。 以上便是平面静磁场问题中的复变函数方法，即运用复电位，保角变换（保角映射），许瓦兹-克瑞斯托弗尔变换等来解决问题。 其实，我认为复变函数更
13、多的体现在信号与系统的学习过程中，因为复变函数的思想一致贯穿与信号与系统的学习中，在时域中难以解决的问题通过转换到频域中可以得到更简便的解决方案，而转换到复频域便涉及到了复变函数的应用。 连续时间信号的实频域分析和连续时间系统的实频域分析便是是运用傅里叶级数及傅里叶变换。而连续时间信号与连续时间系统的复频域分析便是运用到了拉普拉斯变换的性质。作为复变函数中重要的傅里叶变换和拉普拉斯变换，我们足以看到复变函数在信号即通信中的重要作用。首先，我们引入实频域分析的傅里叶级数和傅里叶变换。针对周期函数，我们引入了傅里叶级数的概念。连续时间信号的分析如下：对于满足Dirichlet条件的周期为的函数f(
14、t),可将其表示为： 由此得到，满足Dirichlet条件的周期信号，可以分解为基于其各次谐波的不同幅度，不同相位的余弦或正弦信号的叠加，在这种条件下，对满足Dirichlet条件的周期信号，从千变万化的时域波形的关注，转向对各次谐波余弦或正弦函数幅度和相位的关注，从问题的表象到问题的特征，建立周期信号分析的理论模型。由频谱分析我们可以知道信号的幅频和相频特性。 对非周期信号的分析我们则采用傅里叶变换，因为在真实的物理世界中严格的周期信号时不存在的，所谓的周期信号只是既定于在某一个时间段，傅里叶级数的重要物理意义就是：非周期信号可以与周期信号建立某种联系，进而采用周期信号的处理思路来处理非周期
15、信号。 周期信号与非周期信号并不存在严格的界限，可以通过把非周期信号的周期看成无穷大而将其近似于周期信号，也可以将周期信号中的一部分区间中的取出来构成非周期信号进行分析。 对于连续时间系统的实频域分析，我们则引入了系统频率响应，频率响应即为单位冲激响应h(t)的傅里叶变换： 如果知道一个系统的频率响应，便可以对系统的特性有进一步的了解。然后，我们引如复频域分分的普拉斯变换。普拉斯变换是针于不能用傅里叶形式的函数，即不满足Dirichlet条件的函数而言的，通过与一个衰减因子相乘而达到绝对可积的条件。 对于拉普拉斯逆变换而言，它与拉普拉斯变换构成了信号与系统时域及频域分析的重要数学工具，在求解系统各种响应，卷积计算及系统频率响应过程中都起到了重要的作用。传播优秀Word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！2、数学中绕流问题的复变函数方法 我们总是使用共形映射的方法研究一般剖面的绕流问题，特别是机翼剖面绕流问题，我们只要求出平面稳定绕流的复势，便可导出此绕流的速度分布，而要求出一般剖面绕流的复势，通常先计算対圆柱剖面绕流的的复势，然后再求一般剖面绕流区域到圆柱剖面外部区域的共
