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1、方法技巧专题(一)数形结合思想训练【方法解读】数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方案(以形助数)，或利用数量关系研究几何图形的性质解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。1.我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数,回顾学习过程,都是按照列表、描点、连线得到函数的图象,然后根据函数的图象研究函数的性质,这种研究方法主要体现的数学思想是()A.演绎B.数形结合C.抽象D.公理化2.若实数a,b,c在数轴上对应的点如图F1-1,则下列式子正确的是()图F1-1A.acbcB.|a-b|=a-bC.-a-b-b-c3.2017怀化 一次函数y=-2x
2、+m的图象经过点P(-2,3),且与x轴、y轴分别交于点A,B,则AOB的面积是()A.B.C.4D.84.2018仙桃 甲、乙两车从A地出发,匀速驶向B地.甲车以80 km/h的速度行驶1 h后,乙车才沿相同路线行驶.乙车先到达B地并停留1 h后,再以原速按原路返回,直至与甲车相遇.在此过程中,两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图F1-2所示.下列说法:乙车的速度是120 km/h;m=160;点H的坐标是(7,80);n=7.5.其中说法正确的有()图F1-2A.4个B.3个C.2个D.1个5.已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1x
3、3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为()A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或36.2018白银 如图F1-3是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是直线x=1,对于下列说法:ab0,a+bm(am+b)(m为常数),当-1x0,其中正确的是()图F1-3A.B.C.D.7.如图F1-4是由四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分面积的不同表示方法,写出一个关于a,b的恒等式:.图F1-48.2018白银 如图F1-5,一次函数y=-x-2与y=2x+m的图象交于点P(n,-4)
4、,则关于x的不等式组的解集为.图F1-59.庄子天下篇中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”意思是:一根一尺的木棍,如果每天截取它的一半,永远也取不完,如图F1-6.图F1-6由图易得:+=.10.当x=m或x=n(mn)时,代数式x2-2x+3的值相等,则x=m+n时,代数式x2-2x+3的值为.11.已知实数a,b满足a2+1=,b2+1=,则2018|a-b|=.12.已知函数y=使y=k成立的x的值恰好只有3个时,k的值为.13.(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:图F1-7(2)观察图F1-8,根据(1)中结论,计算图中黑球的个数,并用含有n的代数式填空:图F1-81+3+5
5、+(2n-1)+()+(2n-1)+5+3+1=.14.2018北京 在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.参考答案1.B2.D3.B4.B解析 甲、乙两车最开始相距80 km,0到2 h是乙在追甲,并在2 h时追上,设乙的速度为x km/h,可得方程2x-280=80,解得x=120,故正确;在2 h时甲、乙距离为0,在6 h时乙到达B地,此时甲、乙距离=(6-2)(12
6、0-80)=160(km),故正确;H点是乙在B地停留1 h后开始原路返回,6 h时甲、乙距离是160 km,1 h中只有甲在走,所以1 h后甲、乙距离80 km,所以点H的坐标是(7,80),故正确;最后一段是乙原路返回,直到在n h时与甲相遇,初始距离80 km,所以相遇时间=80(120+80)=0.4,所以n=7.4,故错误.综上所述,正确,错误,正确的有3个,故选B.5.B解析 由二次函数的顶点式y=(x-h)2+1,可知当x=h时,y取得最小值1.(1)如图,当x=3,y取得最小值时,解得h=5(h=1舍去);(2)如图,当x=1,y取得最小值时,解得h=-1(h=3舍去).故选B
7、.6.A解析 抛物线的开口向下,a0,ab0,2a+b=0,正确.当x=-1时,y=a-b+c=3a+c,由对称轴为直线x=1和抛物线过x轴上的A点,A点在点(2,0)和(3,0)之间,知抛物线与x轴的另一个交点在点(-1,0)和(0,0)之间,所以当x=-1时,y=3a+c0,错误.当x=1时,y=a+b+c,此点为抛物线的顶点,即抛物线的最高点,也是二次函数的最大值.当x=m时,y=am2+bm+c=m(am+b)+c,此时有a+b+cm(am+b)+c,即a+bm(am+b),正确.抛物线过x轴上的A点,A点在点(2,0)和(3,0)之间,则抛物线与x轴的另一个交点在点(-1,0)和(0
8、,0)之间,由图知,当2x3时,有一部分图象位于x轴下方,说明此时y0,根据抛物线的对称性可知,当-1x0时,也有一部分图象位于x轴下方,说明此时y0,错误.故选A.7.(a-b)2=(a+b)2-4ab8.-2x2解析 y=-x-2的图象过点P(n,-4),-n-2=-4,解得n=2.P点坐标是(2,-4).观察图象知:2x+m-x-2的解集为x2.解不等式-x-2-2.不等式组的解集是-2x0,如图,易知抛物线过点(5,12a),若抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a4即可,可知a的取值范围是a.若a4,此时a-.若抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=
9、a(x-1)2+4,将A(-1,0)代入,解得a=-1,如图:综上,a的取值范围是a或a-或a=-1.方法技巧专题(二)分类讨论思想训练【方法解读】当数学问题中的某一条件模糊而不确定时,需要对这一条件进行分类讨论,然后逐一解决.常见的分类讨论有概念的分类、解题方法的分类和图形位置关系的分类等.1.点A,B,C在O上,AOB=100,点C不与A,B重合,则ACB的度数为()A.50B.80或50C.130D.50或1302.2018山西权威预测 已知一等腰三角形的两边长x,y满足方程则此等腰三角形的周长为()A.5B.4C.3D.5或43.2018枣庄 如图F2-1是由8个全等的矩形组成的大正方
10、形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连结PA,PB,那么使ABP为等腰直角三角形的点P有()图F2-1A.2个B.3个C.4个D.5个4.2018鄂州 如图F2-2,已知矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm,动点P在边BC上从点B向点C运动,速度为1 cm/s,同时动点Q从点C出发,沿折线CDA运动,速度为2 cm/s.当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.设点P运动时间为t(s),BPQ的面积为S(cm2),则描述S(cm2)与时间t(s)的函数关系的图象大致是()图F2-2图F2-35.2018聊城 如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,
11、那么这个多边形的内角和是.6.2018安徽 矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC,若APD是等腰三角形,则PE的长为.7.如图F2-4,已知点A(1,2)是反比例函数y=图象上的一点,连结AO并延长交双曲线的另一分支于点B,点P是x轴上一动点,若PAB是等腰三角形,则点P的坐标是.图F2-48.2017齐齐哈尔 如图F2-5,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是.图F2-59.2017义乌 如图F2-6,AOB=45,
12、点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点,若使P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有3个,则x的值是.图F2-6参考答案1.D2.A解析 解方程组得当2作为腰长时,等腰三角形的周长为5;当1作为腰长时,因为1+1=2,不满足三角形的三边关系.故等腰三角形的周长为5.3.B解析 如下图,设每个小矩形的长与宽分别为x,y,则有2x=x+2y,从而x=2y.因为线段AB是长与宽为21的矩形对角线,所以根据网格作垂线可知,过点B与AB垂直且相等的线段有BP1和BP2,过点A与AB垂直且相等的线段有AP3,且P1,P2,P3都在顶点上,因此满足题意的点P共有3个.故选B.4.A解析 由题意可知,0t4,当0t2时,如下图,S=BPCQ=t2t=t2;当t=2时,如下图,点Q与点D重合,则BP=2,CQ=4,故S=BPCQ=24=4
