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1、随机过程作业题及参考答案（第一章）P391.设随机过程变量。试求X解:1。当cos 0t第一早X t X cos 0t，t的一维概率分布。0t随机过程基本概念其中X t 0,则P X t012o 当 cos0t0, 0)t k即t1 1 k20 2QX N0,1,EX0,DX1.E X tEX costEXcost0.D X tDX cos0tDX2 cos. 20t cosX t N Ck 2I, cos0t .0(k0t .x222cos t则 f x； t1- 2 cos 0t2.利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为假定“出现正面”和“出现反面”0是正常数，而X是标准正态z)时,z)时
2、,cos t, 出现正面2t ,出现反面的概率各为11。试确定X t的一维分布函数 F x；221和F X； 1 ,以及二维分布函数 F x1, x2 ；1, 12# 随机过程作业题及参考答案(第一章)# 解:X 1201Pk11220,x0F x;1P X - x10x 12221,x1X 112Pk11220, x 11Fx；P X 1 x -,1x221, x 21随机矢量 X - , X 1的可能取值为20, 1 , 1,2而 P X 10, X 1211 , P X -1, X 12-.2 2 2X2N, X 1x20,x10 或 x211 、0 xj 1 且 x21 或石 0且 1
3、 x221,石1且x223.设随机过程X t ,t总共有三条样本曲线X t, 11, X t, 2 sint, X t, 3 costP 2 P 31。试求数学期望EX t和相关函数Rx t1,t23解:EX t 1sin tcost11 sin t cost .3RXt1，t2t1t231313sinj sin t21cost1 cost2sinsint? cost1 cost2cos t1 t2Xt4.设随机过程X t e , (t 0)，其中X是具有分布密度f x的随机变量。试求X t的一维分布密度。解：X t的一维分布函数为：F x；P X t x P eXtxP Xtln x P X
4、1lnxt11 P X-lnxt1F1. In x .tQ X具有分布密度f x，X t的一维分布密度为：1 f x;tF x;t-t1xf1, ln xt1 f 1, fln x .txtP405.在题4中，假定随机变量 X具有在区间0,T中的均匀分布。试求随机过程的数学期 望EX t和自相关函数RX t,t2。解：由题意得，随机变量X的密度函数为fx1，0,其它由定义，EX tE eXt1 TteTt!dxT丄1TttxtxTtTt(tRxE X t1X t2xtiXt2 eT t1 t2d txTtt1 t2tx T0-dx TX t1t1et2 0T t1 t2x t1 t2-dTe
5、T t1 t2x t1t21（两T t1 t29.给定随机过程 X t，t。对于任意一个数 x，定义另一个随机过程1， X tXY t0， X tX试证：Y t的数学期望和相关函数分别为随机过程X t的一维分布和二维分布函数个自变量都取x）。证明：设X,t 和 f2 X1，X2 ；1，t2 分别为t的一维和二维概率函数，则mY ty t f1 x,t dxx, t dx F1 x,t .Ry t，2E Y t1 Y t2Xi，x2 ;t1， t2 dx-idx2F 2 X1， X2 , ；，t?x, x2f2 x1，x2 ；t1? t2 dx1dx2随机过程作业题及参考答案（第一章）若考虑到对
6、任意的t T , Y t是离散型随机变量，则有mYtEY t1 PY t1 0P Y t0P X t xF| x,tRyt，2E Yt1Y t211P丫 t11,Yt2 11 0P Y t11,Y t2001P Yt1o,丫 t21 00 P Yt10, Y t20PXt1X1,Xt2X2F2 X1,X2 ；1，t2因此，Y t的数学期望和相关函数分别为随机过程X t的一维分布和二维分布函数。P4114.设随机过程X t X Yt，t，而随机矢量 X，丫 的协方差阵为212，试求X t的协方差函数。2解：依定义，利用数学期望的性质可得CX t1，t2EX Yt1mxmYt1XYt2mxmYt2
7、EXmxYt1讪1XmxYt2mYt2EXmxX mXEXmxt2 丫 m丫Et1 Y mY XmxE t1t2YmY YmYCXXt2CXYt1CYXt1t 2CYY21t1 t2t1t222# 2，随机过程作业题及参考答案（第一章）0, x 0# F x215设随机过程X t1X Vt1 Zt2 ,t ，其中X , Y , Z是相互独立的随机变量，各自的数学期望为零，方差为解：1。试求X t的协方差函数。Cxt1 t2E X t1mX t1X t2mx t2X Yt2 Zt；2mxmYt2mzt2 2mxmYt1mzl0，将其代入式，得:X Yt1 Zt12址2 t；t2 E YZ t1t；E Z2Cxt1 t2E XYt1Zt22X Yt2 Zt2EX2XYt2 XZt2XYtY2t1t2 YZt1t| XZt；YZt；t2 Z2t12t2EX2XY t1t2XZ t2t； Y2t1t2 YZ 诞tft2 z2t1t；Q DXE X2E2X ,EX2D XE2X 102 1.同理,EY21,E Z：2 1.QX，丫，Z的数学期望均为0，即mx0，mY0， mZQX，Y，Z相互独立，E XY E X E Y 0.同理，E XZ 0，E YZ 0.将上述结果代入式，得E X2t1 t2 E XY t t； E XZ tE Y22 21 t1t2 t1 t2.
