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1、第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，()得白球，()得红球。(3) 甲、乙两人从装有个白球与个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止，甲先取到白球。解 (1)记9个合格品分别为 ，记不合格为次，则(2)记2个白球分别为，3个黑球分别为，4个红球分别为，。则，() ， ()，（3）表示白，表示黑白，表示黑黑白，则样本空间，当b被奇数时：当b为偶数时：1.2 在数学系的学生中任
2、选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。(1) 叙述的意义。(2)在什么条件下成立？(3)什么时候关系式是正确的？(4) 什么时候成立？解 (1)事件表示该是三年级男生，但不是运动员。(2) 等价于，表示全系运动员都有是三年级的男生。(3)当全系运动员都是三年级学生时。(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。1.3 一个工人生产了个零件，以事件表示他生产的第个零件是合格品（）。用表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是合格品。解 (1)
3、; (2); (3);(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为；1.4 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八卡片中任取两，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解 样本点总数为。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件“所得分数为既约分数”包含个样本点。于是。1.5 一个小孩用13个字母作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？解 显然样本点总数为，事件“恰好组成“MATHEMATICIAN”
4、包含个样本点。所以1.6 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为。事件“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含个样本点，于是。1.7 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照中有数字8”的概率为多大？解 用表示“牌照中有数字8”，显然，所以-1.8 有5双不同的鞋
5、子，从中任取4只，问没有一双配对的概率。解：鞋子都不同，所以样本点总数为.A表示“没有一双配对”，则有利样本空间为.所以1.9袋中装有个黑球与个白球，把球随机一只一只地摸出来（不放回），求第k次（）摸出黑球的概率。策略一:把a只黑球和b只白球都看成是不同的,将所有的球一一摸出来依次放在排成一直线的个位置上,则所有不同的排法有,作为基本事件全体;而其中第k个位置排黑球的方法有,故所求概率为策略二:把a只黑球和b只白球都看成是不同的,前k次摸出球的所有不同可能为,将其作为基本事件全体;而第k个位置排黑球的方法有,故所求概率为1.10 任取一个正数，求下列事件的概率：(1)该数的平方的末位数字是1；
6、(2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最后两位数字都是1；解 (1)考虑一个数的平方的末位数字，只与这个数的末位数字有关，即末位数字的样本总空间为10.当该数的末位数是1、9之一时，事件A“该数平方的末位数是1”。即。(2)考虑一个数的四次方的末位数字，只与这个数的末位数字有关，即末位数字的样本总空间为10.当该数的末位数是1、3、7、9之一时，事件B“该数四次方的末位数是1”。即。 (3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含个样本点。用事件C表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为，则该数的立方
7、的最后两位数字为1和3的个位数，要使3的个位数是1，必须，因此C所包含的样本点只有71这一点，于是.1.11 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到根草的情形。解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有种接法，同样对尾也有种接法，所以样本点总数为。用表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。
8、再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为。所以包含的样本点数为，于是(2)根草的情形和(1)类似得 1.12 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。解：以x，y分别表示汽车和乘客到达车站的时间，则事件A“若乘客在候车时间不超过三分钟能坐上车”时，满足以下条件， / 在平面上建立直角坐标系，则（x，y）的所有可能结果是边长为5的正方形，而满足事件A的情况由阴影部分所表示，这是一个几何概率问题，由等可能性知 所求概率为。1.13 在中任取一点，证明的面积之比大于的概率为。解 截
9、取，当且仅当点落入之时的面积之比大于，因此所求概率为。1.14 在线段上任取三点，求：(1)位于之间的概率。(2)能构成一个三角形的概率。解 (1) (2)1.15 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段随机投点。则事件“该点命中的中点”的概率等于零，但不是不可能事件。1.16 设、为两个随机事件，证明：(1);(2).证明 (1)=(2) 由(1)和得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。1.17 对于任意的随机事件、，证明：证明 1.18设A,B,C是三个随机事件，
10、且,.求。解：因为，所以。则1.19 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解 事件表示订甲报，事件表示订乙报，事件表示订丙报。(1)=30%(2)(3)+=+=73%(4)(5)(6)1,20设为n个随机事件，证明：（1）(2)证明：（1）应用数学归纳法当n=1,2时等式
11、成立，假设当n=k时，等式成立，即当n=k+1时，而则上式=所以当n=k+1时也成立。综上所述，（1）式成立。同理可得（2）。1.21 某班有个学生参加口试，考签共N，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一考没有被抽到的概率是多少？解 用表示“第考签没有被抽到”，。要求。，所以1.22 从阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？解阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为，当且仅当的排列中存在使时这一项包含主对角线元素。用表示事件“排列中”即第个主对角线元素出现于展开式的某项中。则，所以1.23 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有
12、一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。解 用分别表示男孩和女孩。则样本空间为：其中样本点依年龄大小的性别排列。表示“有女孩”，表示“有男孩”，则1.24 设件产品中有件是不合格品，从中任取两件，(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。(2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。解（1）设表示“所取产品中至少有一件是不合格品”，表示“所取产品都是不合格品”，则(2)设表示“所取产品中至少有一件合格品”，表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。则1,25 设，已知。证明：。证明：1.26 设,试证，且当时，求。解：
13、因为所以而当时，则.1.27 举例说明：对任意两个事件A,B，无条件概率与条件概率之间没有固定的大小关系。解：设，则且所以1.28个人用摸彩的方式决定谁得一电影票，他们依次摸彩，求：(1)已知前个人都没摸到，求第个人摸到的概率；(2)第个人摸到的概率。解 设表示“第个人摸到”，。(1)(2)1.29 袋中装有1个黑球和n-1个白球，每次从中随机摸出一球，并放入白球，连续进行，问第k次摸到白球的概率是多少？解：设A为第k次摸到白球，则表示第k次摸到的不是白球，即黑球，那么前k-1次摸到的全为白球。那么1.30 已知一个母鸡生个蛋的概率为，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为，证明：一个母鸡恰有个下一代
14、（即小鸡）的概率为。解 用表示“母鸡生个蛋”，表示“母鸡恰有个下一代”，则 1.31 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。解 用表示“任选一名射手为级”，表示“任选一名射手能进入决赛”，则1.32 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？解 设分别表示车床、钻床、磨床、刨床，B表示有一个机床
15、需要修理，则 ， ，由贝时叶斯公式得 1.33 设,，求，问事件A与事件B是否独立，为什么？解：由，知,知因为，所以即A与B不相互独立。1.34 若A,B相互独立，证明:中的任何一个事件与中的任何一个事件是相互独立的。证明：因为，对于任意的一个事件C，因为,即所以与任何事件都独立；因为，即所以与任何事件都独立；因为A,B独立，所以,所以相互独立。同理相互独立，证毕.1.35 证明：若三个事件、独立，则、及都与独立。证明 （1）= （2） （3）=1.36，设A,B为两个相互独立的随机事件，,证明：。证：因为，所以（当时，等号成立），又因为A,B星湖独立，所以，则.1.37 已知事件相互独立且互不相容，求（注：表示中小的一个数）。解：因为A,B相互独立，所以，A,B不相容，即，所以，即中至少有一个等于0，
