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1、精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号 ：学员编号： 年 级：高三 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课 题圆锥曲线的参数方程授课日期及时段 教学目的1：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义2：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程教学内容知识点检测；1.（北京卷理5）极坐标方程（-1）（）=（0）表示的图形是（ ）（A）两个圆 （B）两条直线（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线2.（湖南卷理3文4）极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（ ）A、圆、直线 B、直线、圆C、圆、圆 D、直线、直线3.（湖南卷文4）极坐标和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是
2、A. 直线、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 圆、直线4.（广东卷理15）在极坐标系（，）（02）中，曲线=与的交点的极坐标为_。5.（广东卷文15）在极坐标系（，）（）中，曲线与的交点的极坐标为_.6.（陕西卷理15C）已知圆C的参数方程为（a为参数）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则直线l与圆C的交点的直角坐标系为_7.（江苏卷21）在极坐标系中，圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0相切，求实数a的值二：知识点整理圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0e1时为双曲线
3、。一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆 文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。 标准方程： 1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：（/)+( /)=1 其中ab0，c0，=-. 2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(/)+( /)=1 其中ab0，c0，=-. 参数方程： X=acos Y=bsin (为参数 ，设横坐标为acos，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆 此时c=0，圆的acos=r)2）双曲线 文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是
4、一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。 标准方程： 1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(/)-( /)=1 其中a0,b0, =+. 2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(/)-( /)=1. 其中a0,b0, =+. 参数方程： x=asec y=btan (为参数 ) 3）抛物线标准方程： 1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：=2px 其中 p02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：=-2px 其中 p03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：=2py 其中 p0 4.顶点
5、在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：=-2py 其中 p0 参数方程 x=2p y=2pt (t为参数) t=1/tan(tan为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0 直角坐标 y=a+bx+c (开口方向为y轴, a0 ） x=a+by+c （开口方向为x轴, a0 ) 圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为 =ep/(1-ecos) 其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。 二、焦半径圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。 圆锥曲线左右焦点为F1、F2,其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为： 椭圆： |PF1|=a+ex |PF2|=a-ex 双曲线：
6、P在左支，|PF1|=a-ex |PF2|=a-ex P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=a+ex P在下支，|PF1|= a-ey |PF2|=a-ey P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=a+ey 抛物线： |PF|=x+p/2 三、圆锥曲线的切线方程 圆锥曲线上一点P（,）的切线方程以x代替,以y代替;以(+x)/2代替x,以(+y)/2代替y 即椭圆: x/+y/=1;双曲线：x/-y/=1；抛物线: y=p(+x)四、焦准距圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。 椭圆的焦准距:p=()/c 双曲线的焦准距:p=()/c 抛物线的准焦距:p五、通径
7、圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦成为通径。 椭圆的通径:(2/a 双曲线的通径:(2)/a 抛物线的通径:2p六、圆锥曲线的性质对比七、圆锥曲线的中点弦问题 已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程 联立方程法。 用点斜式设出该弦的方程(斜率不存在的情况需要另外考虑),与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，在由中点坐标公式的两根之和的具体数值，求出该弦的方程。 2.点差法，或称代点相减法。 设出弦的两端点坐标(,)和(,)，代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减,运用平方差公式得(+)(-)/+( +)(-)/ =0 由
8、斜率为(-)/( -)可以得到斜率的取值。（使用时注意判别式的问题）三：经典例题：例1、已知P（x，y）在椭圆 上。求u=2xy的最大值解：设P（2cos q ，3sinq）（0q2 p ）是椭圆上的点。 则 u=4cos q 3sin q=5sin（ j q ）。 其中显然j q=2kp+ p 2 kZ q = 时，u最大，umax=5例2、求直线与圆的交点坐标。解：把直线的参数方程代入圆的方程，得(1+t)2+(1-t)2=4,得t=1,分别代入直线方程,得交点为（0，2）和（2，0）。例3、设P是椭圆在第一象限部分的弧AB上的一点，求使四边形OAPB的面积最大的点P的坐标。分析：本题所求
9、的最值可以有几个转化方向，即转化为求的最大值或者求点P到AB的最大距离，或者求四边形OAPB的最大值。例4.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为。（）求圆的直角坐标方程；（）设圆与直线交于点。若点的坐标为（3，），求。P为半圆C：（为参数，）上的点，点A的坐标为（1,0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为。（I）以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（II）求直线AM的参数方程。（四）、巩固训练1、7直线与圆相切，那么直线的倾斜角为（）A或 B或 C或
10、 D或2、椭圆 （）与轴正向交于点A，若这个椭圆上存在点P，使OPAP，（O为原点），求离心率的范围。3、抛物线的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长。4、设P为等轴双曲线上的一点，为两个焦点，证明5.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.()求动点P的轨迹方程；()设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。（五）、家庭作业4.（福建卷文11）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一
11、点，则的最大值为（ ）5.（全国卷理12文12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则（A）1 （B） （C） （D）26.（天津卷理5）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（A） （B）（C） （D） 7.（陕西卷理8文9）已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为（ ）A. B. 1 C.2 D.4 8.（上海春卷17）已知抛物线与直线，“”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件；C充要条件D既不充分也不必要条件2. （陕西卷文15C）参数方程（为参数）化成普通方程为_ 3. 1. （重庆卷理14）已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为_.6.（湖南卷理14）过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为若梯形的面积为，则 _ 4.（全国新卷理23文23）已知直线C1（t为参数），C2（为参数），（）当=时，求C1与C2的交点坐标；（）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。
