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1、第一章 集合与常用逻辑用语本章知识结构图互逆互为逆否互逆互否互否等价关系关系原命题：若p，则q逆命题：若q，则p否命题：若p,则q逆否命题：若,则集合集合元素的特征确定性、互异性、无序性集合的分类无限集有限集空集集合间的基本关系子集真子集相等集合间的基本运算交集AB并集ABVenn图、数轴充要条件充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件，既不充分也不必要条件简易逻辑命题全称命题与存在性命题全称量词：任意；存在量词：存在复合命题且：pq或：pq非：p一假则假，两真为真一真便真，两假为假补集第一节 集 合考纲解读1.集合的含义与表示了解集合的含义、元素与集合的关系；能用自然语言、图形语言和集合
2、语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题2.集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义能识别给定集合的子集；在具体的情境中，了解全集与空集的含义3.集合的基本运算理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算命题趋势探究有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分值5分近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训
3、练预测2020年以后的高考，将继续体现本章知识的工具性作用，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立具体估计为：（1）以选择题或填空题形式出现北京、重庆等地也可能以集合为基础，综合其他知识在最后一题的位置出现考查学生的综合推理能力（2）热点是集合间的基本运算、数轴法的应用和体现集合的语言工具作用知识点精讲一、集合的有关概念1集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象2集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素（2）互异性：集合中任何两个元素都
4、是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关如3集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法4常用数集的表示R一实数集 Q一有理数集 Z一整数集 N一自然数集或一正整数集 C一复数集二、集合间的关系1元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作)和不属于(记作)两种空集：不含有任何元素的集合，记作2集合与集合之间的关系（1）包含关系子集：如果对任意，则集合是集合的子集，记为或，显然规定：（2）相等关系对于两个集合与，如果，同时，那么集合与相等，记作（3）真子集关系对于两个集合与，若，且存在，但，则集合是
5、集合的真子集，记作或空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集三、集合的基本运算集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表所示表交集AB并集AB补集AI1交集由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做与的交集，记作，即2并集由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集，记作，即3补集已知全集，集合，由中所有不属于的元素组成的集合，叫做集合相对于全集的补集，记作，即四、集合运算中常用的结论1集合中的逻辑关系（1）交集的运算性质， ，（2）并集的运算性质， ，（3）补集的运算性质， ，补充性质：（4）结合律与分配律结合律： 分配律： （5）反演律（德摩根定律） 即“交的补补
6、的并”，“并的补补的交”2由个元素组成的集合的子集个数的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个3容斥原理题型归纳及思路提示题型1 集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性例1.1 设，集合，则（ ）A B C D解析：由题意知，又，故，得，则集合，可得，故选C。变式1 （2012新课标理1）已知集合，则中所含元素的个数为（ ）A B C D变式2 （2013山东理2）已知集合中元素的个数为（ ）A B C D变式3 若集合，则 ， 题型2 集合间的基本关系思路提示（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系
7、；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析一、集合关系中的判断问题例1.2 若，则，之间的关系为（ ）A B C D解析：解法一：集合中元素，故集合，而集合中元素，故解法二：列举，因此，故选C评注：解法一是数学中“求同比异”的思想，值得学习；解法二是列举法，易于入手，也是做选择题的常用方法变式1 设集合，则A B C D例1.3 设.（1）若，试判断集合与集合的关系；（2）若，求实数组成的集合.分析：（1）先求集合，再由求集合，确
8、定与的关系.（2）解方程，建立的关系式求，从而确定集合.解析：（1）由得或，所以.若，得，即，所以，故.（2）因为，又.当时，则方程无解，则；当时，则，由，得，所以或，即或故集合.评注：（1）研究集合的子集问题时应首先想到空集，因为空集是任何集合的子集.（2）含参数的一元一次方程解的确定：当时，方程有唯一实数解；当时，方程有无数多个解，可为为任意实数；当且时，方程无解.变式1 已知集合，集合，若，求实数的取值范围.二、已知集合间的关系，求参数的取值范围例1.4 （2012大纲全国理2）已知集合，则（ ）A或 B或 C或 D或解析：由，得，故或且，所以或.故选B.变式1 已知集合，若，则实数的取
9、值范围是 .变式2 已知集合，且，则实数的取值范围是 .变式3 已知集合，若，则的取值范围是（ ）A B C D三、集合关系中的子集个数问题例1.5 已知集合，则集合的子集个数为 .分析：本题应首先确定集合中元素的个数，再求其子集的个数.解析：集合，共8个元素，则集合的子集的个数为.例1.6 已知集合，满足条件的集合的个数为（ ）A B C D解析：由且，得集合是集合与集合的任一子集的并集，即求集合的子集的个数为，故选D.变式1 已知集合满足，求集合的个数.题型3 集合的运算思路分析凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、并、补运算的有力工具，数
10、形结合是解集合运算问题的常用思想.一、集合元素属性的理解例1.7 已知集合，则（ ）A B C D分析：在进行集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的属性，判断、是数集还是点集，是数集要化简集合，是点集要解方程组.在本题中，集合代表元素是因变量，故是函数的值域（数集）；集合的代表元素是自变量，故是函数的定义域（数集）.解析：，即，所以，故选C.评注：几量遇到集合的运算（交、并、补）问题，应注意对集合元素属性的识别，如集合是函数的值域，是数集，求出值域可以使之简化；集合是点集，表示函数图像上所有点的集合.再如集合，可以理解为单位圆上点的纵坐标的取值集合，表示的是数集；表示的是曲线，即抛的
11、线上所有点构成的集合，它表示的是点集，故有.另如，则有，而易错为.变式1 集合，则（ ）.A B C D变式2 已知集合，则集合 .变式3 设全集，集合，那么（ ）A B C D变式4 已知集合，若，求实数的取值范围.二、数轴在集合运算中的应用例1.8 设集合，则的取值范围是（ ）A B C D分析：借助数轴表示集合和集合，根据集合的关系，求解参数的取值范围.解析：因为，集合，在数轴上的表示如图1-1所示.因为，所以，可得.故选A. 图11变式1 （2012天津理11）已知集合，集合，且，则 ， .变式2 已知全集，集合，那么集合（ ）. A. B. C. D.变式3 已知集合，则集合（ ）.
12、A B C D三、韦恩图在集合运算中的应用例1.9 设为全集，是两个非空集合，定义与的差集，则（ ）.A B C D分析：本题可利用题中所给定义表示从集合中去掉属于集合的元素解题.解析：当时，根据题意利用韦恩图解题，如图1-2所示，.当时，.综上，.故选B.评注：凡是遇到抽象的集合运算题尝试利用韦恩图求解.本题也可用举例法求解，比如，根据定义得出所求集合为空集.故选B.变式1 设全集，则（ ）.A B C D变式2 某班级共有30人，其中15人喜爱篮球，8人喜爱足球，两项都不喜爱的有8人，则喜爱篮球但不喜爱足球的有 人例1.10 如图1-3所示，是全集，是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（
13、）A B C D分析：本题考查对利用韦恩图表述集合关系的理解.解析：图1-3中的阴影部分为与的公共部分，即中去掉属于的那部分元素后剩余元素组成的集合，即，故选B.对于韦恩图表述的集合应做如下理解：阴影部分涉及到谁就交谁，涉及不到谁就交其补集如图1-4所示分别表示：（a）；（b）；(c) 或.变式1 已知为集合的非空子集，且不相等，若，则（ ）A B C D四、以集合为载体的创新题例1.11 设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么称是的一个孤立元，给定，由的3个元素组成的所有集合中，不含孤立元的集合共有 个.解析：由孤立元的定义，若不是的孤立元，应满足或，即集合中元素连续，故满足的3个元素构成的不含孤立元的集合分别为、
