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1、弹性力学总结弹性力学关于应力变分法问题一、起源及发展1687年，Newton在自然哲学的数学原理中提出第一个变分问题一定 轴转动阻力最小的旋转曲面形状问题；1696年，Bernoulli提出了著名的最速降 线问题；到 18 世纪，经过 Euler， Lagrange 等人的努力，逐渐形成变分法。 古典变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点，它为许多数学、物理、科 技、工程问题提供了强有力地数学工具。现代理论证明，微分方程（组）中的 变分法是把微分方程（组）化归为其对应泛函的临界点（即化为变分问题），以 证明其解的存在性及解的个数。讨论对应泛函临界点的存在性及其个数的基本 方法是Morse理论
2、与极小极大理论（Minimax Theory）。变分法有着深刻的物理 背景，某种意义上，自然界一切物质运动均可以用某种形式的数理方程表示， 一般数理方程又与一定的泛函相对应，所以一切物质运动规律都遵从“变分原 理”。由于弹性力学变分解法，实质上就是数学中的变分法应用于解弹性力学问 题，虽然在讨论的近似解法中使用变分计算均甚简单（类似微分），但“变分” 的概念却极为重要，它关系到我们队一系列力学变分原理中“虚”的概念的建 立与理解。以下，就应力变分法进行讨论。二、定义及应用（1）、应力变分方程设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡。命&为实际存在的应变分量, ij它们满足平衡微分方程和应力边界条
3、件，也满足相容方程，其相应的位移还满 足位移边界条件。现在，假想体力和应变边界条件上给定的面力不变而应力分 量发生了微小的改变站，即所谓虚应力或应力的变分，使应力分量成为ij& +祐假定他们只满足平衡微分方程和应力边界条件。ij ij既然两组应力分量都满足同样体力和面力作用下的平衡微分方程和应力边 界条件，应力分量的变化必然满足无体力时的平衡微分方程。即d d d5c + 5r +5r = 0, dxx dy xy dz zxddd5c + 5r +5r = 0, dyy dz yz dxxyd d d5c + 5r + 5r = 0。yzdzz dx zx dy在位移给定的边界上，应力分量的
4、变分必然 伴随着面力分量的变 分5 f、5 f、5 f。xyz根据应力边界条件的要求，应力分量的变分在边界上必须满足l5c + m5r + n5r =5f ,b)xxy zx xm5c + n5r + l5r = 5 f ,yyzxyyn5c + l5r + m5r =5f。 zzxyzz则应变余能的变分应为5V = Uf5v dxdydz = Uf(C6vc-dcx5c + Lxdv+ j + L )dxdydz。 dryzdvL = dcxdv=dcyydvL = dczzdvd c =Y ， drzxzxdv一 =Y ,dryzyz将上式代入，得5V = f f f( 5c +LCx x
5、再将几何方程代入，得dv= Ydrxyxy+丫阮yz yz)dxdydz。5V =fffdu5c + L + (dw + 竺)5r + L dxdydz。Cd xxdy dzyz根据分部积分和奥高公式，对上式右边进行处理：fff-du5c dxdydz = fflu5c dS -川u (5c )dxdydz, dxxxdxx最后可得8V =JJu(18 + mT + nT ) + L dS-c x xy zxdddJJJu(80 + 8t + 8t ) + L dxdydz。dxx dy xy dz zx再将(a)、(b)代入，即得8V = U(u8 f + v8f + w8 f )dS。cx
6、yz这就是所谓应力变分方程，有的文献把它叫做卡斯蒂利亚诺变分方程 最小余能原理：8V - H(u8 f + v8 f + w8 f )dS = 0。cxyz上式也可以改写为：8 V -JJ(uf + vf + wf )dS = 0。cx y z(2) 、应力变分法由推到出的应力变分方程，使其满足平衡方程和应力边界条件，但其中包二 C)+Y A C)ij 0m ij0ijc)含若干待定系数，然后根据应力变分方程解决这些系数，应力分量一般可设为：mm其中A是互不依赖的m个系数，C）是满足平衡微分方程和应力边界条mij 0件的设定函数，（）是满足“没有体力和面力作用时的平衡微分方程和应力边 ij m
7、界条件”的设定函数。这样，不论系数A m如何取值，C）总能满足平衡微分ij 0方程和应力边界条件。注意：应力的变分只是由系数Am的变分来实现。如果在弹性体的每一部分边界上，不是面力被给定，便是位移等于零，则应力变分方程即：md)应变余能V是A的二次函数，因而方程（d）将是Am的一次方程。这样cm的方程共有m个，恰好可以用来求解系数，Am从而由表达式（c）求得应力分量。如果在某一部分边界上，位移是给定的，但并不等于零，则在这一部分边 界上须直接应用变分方程（11-18），即V（uf + vf + w5f ）dS。c x y z在这里，u、v、w是已知的，积分只包括该部分边界，面力的变分与应力 的
8、变分两者之间的关系即： 、6 f = 16a + m阮 + n乱,x x xy zx6 f = m6a + n6x + 16t , yyyzxy6 f = n6a + 16t + m6T。zzxzyz带入方程的右边积分后，将得出如下的结果：JJ(u6 f + v6 f + w6 f )dS =Y B 6 A。xyzm mm其中Bm是常数，另一方面，我们有：力U *6V =Y 叫A。 cdAmmm因而得：dVc = B。(m = 1,2,L )dAmm这将仍然是A的一次方程而且总共有m个，仍然可以用来求解系数A，mm从而由表达式（c）求得应力。（3）、应力函数方法由于应力分量的数量有点多，确定起
9、来较为困难，通常用应力函数方法。在平面应力问题中，如果体力分量为常数，则存在应力函数。将应力函数 设为：二+Y A,0m mm其中A为互不依赖的m个系数。这样就只需使给出的应力分量满足实m0际的应力边界条件，并使给出的应力分量满足无面力时的应力边界条件。 m在平面应力问题中，有G =T =T = 0 ,而且G、G、T不随坐标Z而 z yz zx x y xy变。在Z方向取一个单位厚度，则用应力分量表示的应变余能表达式为V 二丄JJg 2 +G 2 一2yG G + 2(1+p)t 2dxdyoc 2 Ex yx yxy对于平面应变问题，V = 1+(1一卩)(g 2 +g 2)一2rg G +
10、 2t 2dxdy。c 2 Ex yx y xy如果所考虑的弹性体是单连体，体力为常量，应力分量G、G、T应当与x y xyr 无关 ，可以取 r =0， 于是平面应力情况下的表达式和平面应力情况下的表达式都简化为V 二丄JJ(G 2 + G 2 + 2T 2 ) dxdy。c 2 Ex y xy即得用应力函数表示应变余能的表达式“1 ffr/Q2 Q 2 Q 2 V = JJ(-Fx)2 + (- fy)2 + 2()2dxdy。c 2E Qy 2 x Qx2 y QxQy在应力边界问题中，因为面力不能有变分，6 V = 0。 c应为应力分量以及应变余能的变分是通过系数 Am 的变分来实现的
11、，所以 上式归结为竺=0QAm将将应力函数表达式代入,即得d 2QQ 2Q 2QQ 2JJ(W一 F X)Q(Q ) + Gq一 / y) QGq ) +Qy 2x QAQy 2Qx 2y QAQx2mmQ 2 QQ 22()dxdy 二 0,QxQy QA QxQym(m 二 1,2,L )可以用来决定系数Am,从而确定应力函数再由应力函数9求得应力分 量。由于是近似解，应力分量不能精确满足相容条件，由应力分量求得的应变 分量也不能精确满足变形协调条件，不能根据几何方程求得位移分量。应力函数法的要点是要找到满足全部边界条件的应力函数，二这种函数一 般任然难以找到，尤其在边界不规整的情况下。所
12、以应力方法的应用在这一点 上受到极大的限制。（4）、典型例题：例1：设有宽度为2a,高度为b的矩形薄板，左右两边和下边被固定约束,上边的位移被给定为u二0 v 一n （1 -兰），不计体力。试求薄版的位移分量和 a2应力分量。解：取坐标系底部为 x 轴，对称轴为 y 轴，则该问题是一个轴对称问题 及约束情况，几何形状以及所受的外来因素都对称于某个坐标轴。 本题中，对称轴显然是 y 轴。这样，位移 u,v 关于 y 轴对称。首先考察位移 u：薄板左右两边：（u）= 0 （说明u中含有（x2 - a2）项或（a2 - x2）项）x= a薄板下边：（u） = 0 （说明u中含有（y-0）项）y=0薄
13、板上边：（u） = 0 （说明u中含有（y-b）项或（b-y）项）y=b所以u所以表达成：u = A （a2 - x2）y（b - y）（这里m=1，即取一个系数A? 由此可得 u,v 的表达式为：1a 2(v)= 0x=a(v)= 0y=0x2(v)=-n (1 -)y=ba 2V = -n (1 - 乂)壬 + B (1 -兰)备(1 - y) a 2 b 1a 2 b b 一(u )= 0x=z 可以满足位移边界条件： (u)y=0 =0(u )= 0y=b由于u是x的奇函数，v是x的偶函数，对称条件满足。此外，由（i）得：u =（兰-兰）（壬-苓1 a a 3 b b 2即 U =舟(
14、Ai+ Bi+ 2vAiBi)=J f u ds,U = J f v ds1QB1xy1二-q abj = - q abidB21dUdA1Eab (2A + 2vB ) = -q ab2(1 - v 2/ iiiEab (2B + 2vA ) = -q ab 2(1 - v 2/ 112A =-,B =-q2 -Vqii E i Eq - vq q - vqu = -i2x,v =-i yEE例2：已知悬臂梁，抗弯刚度为EI,求最大挠度值。解：设:2 + a x 3)23满足固定端的边界条件。在不考虑剪切效u = - JlM 2( X) dx =1 El2 o EI 2w = 0, w x =0x =0应 时 ， 直 杆 弯 曲 的 应 变 能 为 d 2 w 2dx、dx 2 丿下面用最小势能原理来确定参数
