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1、圆的滚动-由一道习题所想到的 贾雷明 以前遇到过这样一道题：如图，将半径为2，圆心角为60的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形AOB处，则顶点O经过的路线总长是多少？lO3B2A2O2A1AO学生由于分析不清它的运动过程而将答案弄错，更有甚者，到讲台上来回答问题，说：“点O运动的轨迹是一个半圆”，同学们哄堂大笑。O1同学们经过议论、思考，才发现：点O的运动轨迹是“一段弧+一条线段+一段弧”如图：B3B在计算的时候，两边的两段弧是圆周，很好计算，中间的线段O1O2的长怎么算呢？这又成了学生的绊脚石，因为他们不知道滚动圆在地面上滚动一圈，圆心通过的路程是2r，当扇形A1O1B在地面
2、上滚动到A2O2B2时圆心走过的路程为弧A1B的长。这样，这个问题就迎刃而解了：点O的运动路程为“弧OO1的长+线段O1O2的长+弧O2O3的长”。 从这一个题中我发现：学生对圆的滚动问题很陌生，在考场上是不堪一击。因此，又有了下面这些思考，如图，滚动圆在地面上滚地面上滚动一周，圆心走过的路程是多少？O2O1. .B A这个问题的答案是显而易见的，全部学生都明白是：2r。也就是说O1O2=2r，AB=2r。趁学生的兴趣正浓，顺势又提出下面的问题：如果将线段AB弯曲成一个圆，这样，由于线段AB的长是2r，因此线段AB弯成圆后，与O1是等圆，即O3是线段AB弯成的圆。固定O3，再让O1绕AB无滑动
3、的滚动一周，那么滚动圆自身滚动几圈？如图：O3O1.学生由于上一个问题的干扰，马上回答：圈，因为滚圆在地面上滚动一周时，圆心走过的路程是2r。显然答案是错误的，但学生还是与我争论了很长时间。他们不理解：在平地上，滚圆滚动一周，通过的路程是2r，而将2r的线段弯成一个圆后，再让原来的圆，绕这个圆无滑动的滚动一周，滚动圆自身为什么不是自转了圈？在学生看来，外边滚圆运动时，两个圆的切点确实走过了2r，而此时，与平地上不一样的是：滚动圆的圆心走过的路程不再是2r，而是图中虚线圆的周长：2rr，用rr，因此滚动圆自身滚动了两圈。曾记得，有一道中考题这样出：如图，半径为1的O绕边长为4的正方形ABCD的边
4、无滑动的沿A B C D A的方向滚动一周，圆心走过的路程是多少？不细心思考的同学很快会得出16，但这个答案是错误的，圆应该是这样运动的：轨迹是“4点线段+4条弧长”。.O1.B A.D C 因此，圆心走过的路程是：44+21=16+2。通过对这些题的深入思考，学生对圆的滚动问题有了更深入的理解，他们知道了要计算滚圆自身转过的圈数，就要用“滚圆圆心走过的路程滚圆自身周长”同时学生们也体会到“数学是美的”，数学的美体现在方方面面，也许美在她是探求世间现象规律的出发点，也许美在她用几个字母符号就能把若干信息表达的的简单明了，也许美在她是大胆假设和严格论证的伟大结合，也许美在她对一个问题论证时殊途同归的奇妙感受，也许美在数学家耗尽终生论证定理的锲而不舍，也许美在她在几乎所有学科中的广泛应用。
