《分类讨论思想在中学数学中的应用论文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《分类讨论思想在中学数学中的应用论文（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、-师学院本科学生毕业论文分类讨论思想在中学数学中的应用作 者*院 (系) 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 年 级*级 学 号指导教师* 论文成绩日 期*年*月*日学生诚信承诺书本人重承诺:所呈交的论文是我个人在导师指导下进展的研究工作及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得师学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何奉献均已在论文中作了明确的说明并表示了意签名: 日期:论文使用授权说明本人完全了解师学院有关保存、使用学位论文的规定，即:学校有权保存送交论文的复印件，允许论
2、文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或局部容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文签名: 导师签名: 日期:. z-分类讨论思想在中学数学中的应用牛红姣师学院 数学与统计学院， 455002摘 要：在解数学问题时，应用分类讨论思想，通过正确分类，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答分类讨论的思想在解决*些数学问题时，其解决过程包括多种情形，需要根据所研究的对象存在的差异，按一定标准把原问题分为几个不同的种类，并对每一类逐一地加以分析和讨论，再把每一类结果和结论进展汇总，最终使得整个问题在总体上得到解决关键词：正确分类；应用；分类讨论思想；标准1 简述分类讨论思想由于在研究问题过程中
3、出现了不同情况，从而对不同情况进展分类研究的思想，我们称之为分类讨论思想，其实质是一种逻辑划分的思想，是一种“化整为零，各个击破，再积零为整的数学策略分类讨论思想，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略分类讨论思想具有较高的逻辑性及很强的综合性，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，所以在数学解题中占有重要的位置2 分类讨论的要求、原则及其意义分类讨论的要求：正确应用分类讨论思想，是完整解题的根底应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学，统一，不重复，不遗漏，在此根底上减少分类，简化分类讨论过程为了分类的正确性，分类讨论必需遵循一定
4、的原则进展，在中学阶段，我们经常用到的有以下四大原则: 同一性原则分类应按照同一标准进展，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据可以通过集合的思想来解释，如果把研究对象看作全集，是的子集并以此分类，且，则称这种分类符合同一性原则 互斥性原则分类后的每个子项应当互不相容，即做到各个子项相互排斥，分类后不能有些元素既属于这个子项，又属于另一个子项即对于研究对象，是的子集，且作为分类的标准，假设，则称这种分类符合互斥性原则 相称性原则分类应当相称，即划分后子项外延的总和并集，应当与母项的外延相等 层次性原则 分类有一次分类和屡次分类之分，一次分类是对被讨论对象只分类一次；屡次分类是把分类后的所有的
5、子项作为母项，再次进展分类，直到满足需要为止分类讨论的意义：在解决数学问题时，对于因为存在一些不确定因素无法解答或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题按*个标准划分为假设干类或假设干个局部问题来解决，通过正确的分类，能够抑制思维的片面性，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答3分类讨论思想在中学数学中的应用3.1 分类讨论思想在集合中的应用在集合运算中也常常需结合元素与集合，集合与集合之间的关系分类讨论，尤其是对一些含参数的集合问题，常需要进展分类讨论求解例1 设且，数的取值围分析 当时的围与实数取值的正负号，与2的大小均有关系，因此必须对分情况讨论，从而得到集合，再根据，求出
6、的取值围解，当时，因为，所以，解得，与矛盾当时，因为，所以，解得，故当时，因为，所以，解得，故综上可得3.2分类讨论思想在函数中的应用分段函数中的分类讨论例2 函数，作函数的图像分析 是分段函数，没有统一的表达式，所以按其零点分区间讨论解当时，；当时，；当时，；即故的函数图像为如图1所示:图1函数中含参数的分类讨论例3 函数在区间上有最小值，记作，求的函数表达式解 原式配方得，其对称轴方程为，当时，即时，在上递增，在时，；当时，即时，在处有最小值，；当即时，在上单调递减，在时，；综上所述可得3.3分类讨论思想在不等式中的应用涉及运算要求的分类讨论我们在解题过程中，往往将式子变形或转化为另外一个
7、式子来进展解题和运算，很多变形和运算是受条件限制的，如解不等式当两边同时乘除以一个代数式时，要考虑代数式的值是否为负；解无理不等式时，去掉根号要考虑两边是否都大于等等例4 解不等式分析 解此不等式需要去掉根号，而去掉根号时，需要考虑两边是否同为正，才能同时平方而不改变不等号方向，因此根据运算要求进展分类讨论解原不等式等价于，或；解得，或原不等式解集为含参数不等式的分类讨论例5解关于的不等式分析 原不等式是关于的一元二次不等式，可化为由于与无法确定，此不等式无法解下去，因此对进展讨论，讨论的着眼点应该在与的大小上解当时，不等式的解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当或时，不等式解集为
8、3.4分类讨论思想在排列组合中的应用分类讨论思想在排列组合中也常见，尤其是解含有约束条件的排列组合问题时，运用分类讨论的方法可以把复杂的问题化为简单的问题例6在正方体的个顶点中，条棱的中点，个面的中心及正方体的中心共个点中，共线的三点组的个数是多少.解 依题意，共线的三点组可以分为三类:两端点皆为顶点的共线三点组，共有个；两端点皆为面的中心的共线三点组，共有个；两端点皆为各棱中点的共线三点组，共有个；所以总共有个例7 甲、乙、丙位志愿者安排在周一至周五的天中参加*项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一个人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排共有多少方法.解 此题考察排列组合，按甲参
9、加的日期分类:甲周一参加，乙和丙在剩下的天中选两天参加，共有种；甲周二参加，同理可知有种；甲周三参加，有种；根据加法原理可知，总共有种3.5分类讨论思想在数列中的应用在有些数列问题中存在不确定的因素，如等比数列的公比是否为；数列的项的个数为偶数还是奇数等等，就那样的数列问题，我们要进展分类讨论例8数列求它的前项和分析 此题未指明数列为等比数列，所以分类讨论时还要考虑这一情况解 设，当时，；当时，；当且时，由，得，两式相减:，综上所述例9 数列的前和为，满足关系式，且，假设，求数列的前项的和解当时，由，得；当时，由，得，即是首项为，公差为的等差数列，从而，当，即偶数时，；当，即奇数时，综上所述3
10、.6分类讨论思想在圆锥曲线中的应用例10如图2所示，给定点和直线上的动点，的角平分线交于点，求点的轨迹方程，并说什么曲线 图2分析 由于动点因点在直线上的位置的变动而变化，故设出点的坐标，由题意知点应为的表达式，消去参数，即得点的轨迹方程本体的关键是如何求点的坐标，方法有多种，如利用角平分线的定义，性质可得解 依题意，记，则直线和的方程分别为和设点，则有，由点到直线的距离公式得点在直线上，故，由得将代入得假设，则；假设，则，点的坐标为，满足上式综上得点的轨迹方程为此轨迹方程里含有参数，因参数的值的不同而导致曲线的形状不同，从而需要对参数分情况讨论当时，方程化为此时，方程表示为抛物线弧段；当时，
11、轨迹方程为所以，当时，方程表示椭圆弧段，当时，方程表示双曲线支的弧段3.7分类讨论思想在立体几何中的应用点，线，面是组成几何图形的三个要素，有些立体几何题中，这三者的位置关系是不确定的，因此要对每种情况进展分类讨论求解，这样防止漏解下面一题是涉及点与线的位置关系不确定的分类讨论例11 线段与平面平行，平面的斜线与平面所称的角分别且，求与平面的距离分析 作，垂足为，则即为所求距离作，垂足为，由可证面，同理可证面，面面，由面面平行的性质定理可知考虑到在的同侧或异侧，所以分两种情况讨论解如图3，在的同侧时，过点作，垂足为，由，设，则可用表示，在中，利用勾股定理列方程，解得 图(3) 图(4)如图4，
12、在异侧时，在平面作，交其延长线于，同理可得3.8 分类讨论思想在实际问题中的应用近几年来，考试命题从知识转向能力测试，出现了大量有鲜活背景的实际应用题，这种应用题，往往需要有分类讨论的思想才能顺利解决其解题思路是：用数学的语言加以表达和交流，敏捷的承受试题所提供的信息，并和所学的有关知识相结合，确定适当的分类标准，把一个复杂的应用题分解成几个较简单的问题，从而使问题获解例12 有一批货物，如在本月初出售，可获利10万元，然后将本利都存入银行，每月利率为，如在下月出售，可获利万元，但要付万元货物保管费，试问这批货物在本月初出售合算还是下月初出售合算?解 设这批货物的本钱万元假设这批货物在本月初出
13、售，将本利存入银行，到下月初货主有金额；假设这批货物在下月初出售，货主有金额为；，当本钱时，应该本月初出售合算；当本钱时，在本月初出售或下月初出售都一样；当本钱时，在下月初出售合算4如何简化分类讨论分类讨论是一种重要的解题策略，但他不是万能的，不是唯一的，对于分类讨论的问题，在熟悉和掌握分类讨论的同时，要注意抑制盲目讨论的思维定势，要认真审查题目的特点，充分挖掘题中潜在的特殊性和简单性，尽可能防止分类讨论，简化分类讨论过程，从而提高分类讨论的效果下面对于防止和简化分类讨论简单举个例子：例13关于的方程至少有1个负实数根，数的取值围分析 此题假设正面考虑，则必须分为以下3种情况加以讨论:有个负实数根；有个正实数根和个负实数根；有个负实数根和个零根显然，这样解题过程繁琐冗长，又容易产生错误我们可以从命题的反面入手，即先从方程没有负实数根时探数的围，再求出至少有个负实数根时的围为的补集解 设全集，设方程没有负实数根，即只有正实数根或零根时的围为集合由，得所以，即所以集合的补集是故实数的取值围是5 总结通过探讨分类讨论思想在中学数学中集合，函数，不等式，排列组合等中的应用，我们应用正确的分类讨论思想，对不同情况进展分类研究，使问题化整为零，各个击破，再积零
