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1、平面向量的概念与线性运算、选择题1.已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是（）A.a/ bB.a丄bC.0,1,3D.a+b=a-b2设P是厶ABC所在平面内的一点，BUBA= 2BP,则（）.A.pA Pfe= 0 B. pC pA= 0 C. PB+ PC= 0 D. PA+ PB+ pC= 03. 已知向量 a= （X, 2） ,b= （3，- 1），若（a+ b） / （a 2b），则实数 x 的值为（）A. 3 B . 2C . 4D. 64. 在四边形 ABC冲，AB= a+ 2b，BC= 4a b，CD= 5a 3b，则四边形 ABCD的形状是（）.
2、A.矩形 B .平行四边形C梯形D .以上都不对5. 已知 ABC和点M满足E+辰0,若存在实数m使得AB+ 辰 mA成立,则 m=().A. 2B . 3C . 4D . 5久己知点0为ME外接El的圖心且则磁的內角“ 尊于()A_ 30*B. 60*C. 0*D. 120*、填空题8.已知平面上不共线的四点O, A, B，C,若 OA3 OB + 2 OC0,则| BC |9. 给出下列命题: 向量琏的长度与向量SA勺长度相等； 向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反; 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同; 两个有公共终点的向量，一定是共线向量； 向量AB与向量矽是共线向量，则点
3、A B C D必在同一条直线上.其中不正确的个数为.io.已知向量a,b夹角为45，且a=1億b =闪；则b=.3 i11 若M为厶ABC内一点，且满足AU 4AB+ 4入匕 则厶ABC的面积之比 为12若点0是 ABC所在平面内的一点，且满足|OB-OC = |霽OC-2OA，则 ABC的形状为.三、解答题13. 如图所示， ABC中, 屆2ab de/ BC交AC于E, AM是 BC边上的中线，交 DE于 N 设Afe= a，AC b,用 a，b 分别表示向量 AE, BC, DE DN AM AN.14.设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，t R, t为何值时,1a, tb
4、, 32+ b)三向量的终点在一条直线上？15.如图所示，在厶ABC中, D、F分别是BC AC的中点，AE2二AD , ABAC = b.(1)用 a,求证:b表示向量A、7E、7F、BE、訂；B、E、F三点共线16.已知O, A, B三点不共线，且 OP m0+ nOB (m n F).(1)若m+ n=1,求证：A, P, B三点共线;若A, P, B三点共线，求证：m+ n= 1.平面向量的概念与线性运算1.已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是（）A.a/ bB.a丄bC.0,1,3D.a+b=a-b【解析一】由|尹血卜冷-乩 平方可得“貝,所以自丄如故
5、选艮【解析二:根据向壘加法、诚法的几何意丈可知I刑I与I 引分别为以向重& b为邻边的 平行四边形的两条只寸角縫的长，因为l5|=|fl-AL所以该平行四边形为拒形，所以 乩仏 故选丘答案B2对于非零向量a, b,“ a+ b= 0”是“ a / b”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若a+ b= 0,则a= b. a / b；若a / b,贝U a= X b, a+ b= 0不一定成立.答案 A3.设P是厶ABC所在平面内的一点，BC+ BA= 2BP,则（）.A.PA+ Pfe= 0B.pC+ pA= 0C.PB+ PC= 0D.PA+ p
6、fe+ PC= 0解析 如图，根据向量加法的几何意义，bC+ BA匕2BP? P是AC的中点, PA+ AC 0.4DDC答案 B4.已知向量 a (x, 2) ,b (3 ,1)，若(a+ b) / (a 2b)，则实数x的值为（）A. 3B. 2C.4D.6解析 因为(a+ b) / (a 2b) , a+ b= (x + 3,1) , a-2b= (x-6,4), 4(x + 3) (x 6) 0, x= 6.答案D5.在四边形 ABC冲，AA a+ 2b, bC-4a b, CD-5a 3b,则四边形 ABCD的形状是（）.A.矩形B.平行四边形C梯形D.以上都不对解析 由已知AD=
7、AB+ BU CD=- 8a一 2b = 2(-4a b) = 2BC AD/ BC,又AB与CD不平行，四边形ABCD是梯形.答案 C6已知 ABC和点M满足陥呛 辰0,若存在实数m使得AB+ AC= mA成立, 则哙（）.A. 2B . 3C . 4D . 5解析 t叭湖社0,二点皿是厶ABC勺重心,AB AC= 3AMm= 3.答案 BE己知点a为外拥Bl的H心.且M + M += 则磁的内莆川零于（）A. 30*B” 60*C. 50*D. 120*解析：由OA + OB + CO = 0得OA + OB = OC，由OABC外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知四边形 OAC助菱形，
8、且/ CA360.答案：A、填空题8.已知平面上不共线的四点O, A, B, C,若 OA3 OB + 2 OC0,则I BC |解析：由 OA 3OB + 2OC = 0,得 OA OB = 2( OB OC=2.即BA = 2Cb，于是,I BC |答案：29. 给出下列命题: 向量AB的长度与向量BA的长度相等； 向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； 两个有公共终点的向量，一定是共线向量； 向量AB与向量Ct是共线向量，则点 A B C D必在同一条直线上.其中不正确的个数为.解析中，向量aB与BA为相反向量， 它们的长度相等，此命题正
9、确. 中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，此命题错误. 由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相 同，.该命题正确. 由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，.该命题错误. 共线向量是方向相同或相反的向量，.若 AB与Ct是共线向量，则A，B，C, D四点不一定在一条直线上，.该命题错误.答案 34 H444410. 已知向量a,b夹角为45，且a =1,2ab；则耳=.rn_ %-占二 Jio 0（2日一由乎二 100 4十-4 A C45T =10 b =32 解析II答案3 .23i11. 若MABC内一点，且满
10、足AU 4AB+ 4AC则厶ABC的面积之比 为.解析 由题知b m C三点共线，设BMh入BC贝U： AM-Ab=入（AC-AB， AM=（1 -入）AB+ 入 AC1入=人4，Sa ABM 1. .Sa ABC 4答案412. 若点0是 ABC所在平面内的一点，且满足|OB- OC = |OB Og- 2OA，则 ABC勺形状为解析 (等价转化法)Ob Oc- 2OA Ob- OA Oc- OA= aB+ AC,Ob- OC=也 aB- Ac/. | AB+ Ac = | Afe- Ac.故A, B, C为矩形的三个顶点， ABC为直角三角形.答案直角三角形【点评】 本题采用的是等价转化法
11、，将 ABC的三个顶点转化到相应矩形中， 从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论.三、解答题213如图所示， ABC中, AD -Afe, DE/ BC交AC于E, AM是BC边上的中线，3交DE于N设Afe= a, AC b,用a, b分别表示向量Afe, BC, DE DN AM AN221解析 足-b , BCb-a ,応-(b a), 血-(b a),AM= g(a+ b) , AN= 1(a+ b).14. 设a , b是两个不共线的非零向量,若a与b起点相同，t R, t为何值时,1a , tb , -(a+ b)三向量的终点在一条直线上？一 1 1解析 设 a tb=
12、 x a 3 a+ b ( x R),i2、 1 、化简整理得_x 1 a+ J -x b= 0 , a与b不共线，.由平面向量基本定理有23x 1二0，ii故t =时，a, tb, 3(a+ b)的终点在一条直线上.15. 如图所示，在厶ABC中, D F分别是BC AC的中点，AE2=3 AD ， AB = a， AC = b.用a，b表示向量 AD、7E、7F、BE、韶；(2)求证：B、E、F三点共线.解析：(1)延长AD到G,1呻AD 二 2 AG连结BG CG得到？ABGC所以 AG = a+ b，1 1 AD = 2 AG = 2（ a+ b），21AE = 3 AD = 3（a+
13、 b），11AF = 2 AC = 2b，二*a+ b） -a=3（b-2a），BF = AF AB=2b a=2（b 2a）.(2)证明：由(1)可知BE2叫=一 BF3所以B、E、F三点共线.16. 已知 O, A, B三点不共线，且 OP mO+ nOB （m n F）.（1）若m+ n=1,求证：A, P, B三点共线；若A, P, B三点共线，求证：n= 1.证明（1） m, n R,且 m+ n= 1,OP= vmO+ n6B= mO+ （1 n） OB即 Of- Ob- n（OA OB.BP*= nnA 而 BA#0,且 nn R.故BP与 BA共线，又BP，, BAW公共点B.A P, B三点共线. 若A, P, B三点共线，则BP与BA共线，故存在实数 入，使Bp=入BA . OP- OB=入（OA- OB .即 Ofe 入 OA（i 入）OB由 OP= m3/V npB故 mOv nOB=入 OA （1 入）OB又O, A, B不共线， OA OBf共线.m=入,由平面向量基本定理得1 入.mv n= 1.
