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1、运用数列的单调性求最大（小）项高飞数列是一种特殊的函数，一种定义在正整数集）（或其子集）上的函数，因此也具有单调 性，可用函数的思想和方法去研究。对于数列也而言，若a a +1，则其为递减数列，若a =aj，则其为常薮列，运用其单调性可求出一 些常见数列的最值，下面举例说明。n n+1一. 整式（一次，二次）函数为背景的数列例1.已知等差数列（d0）其前n项和为Sn，若S9 = S17，问冬中哪一项最大？解：因为S9 = si7a + a + + a = 0乂因为 a + a = a + a = a + a = a + a1017111612151314二a】3 + a】4 = 0，因为d 0
2、, a14 0S14最大点评：等差数列中，当d 0时fk - 0时，S最小。la 0 kk+1二. 无理根式函数为背景的数列例 2.设函数 f(x) = log2x logx2(0 x 1)数列满足 f(2an) = 2n,(n = 1,2,)(1) 求an。(2) 求幺的最小项解：(1)由已知 log22an 1一 = 2n. a =2n,a 2 一 2na -1 = 0 n解得a = n 川2 +1,/ 0 x 1，即 2an 1可知an 0. a = n - J n2 +11(2) a = n v n2 +1 =.：nn + i n2 + 11a =,n+1n + 1 + v(n + 1
3、)2 + 1,/ n + & n 2 + 1 n + 1 +、(n + 1)2 + 1 an an+1，可知数列I 是递增数列an的最小项为a1 = 1 - J2点评：注意隐含条件a 0，否则会得出a +1 a的错误结论，在(2)中用到了分子有 理化技巧，这是根式运算常见的一种方法。n+ n三. 以分式函数为背景的数列例3.已知an= n-V98 (n e N *)则在数列幺的前30项中最大项和最小项分别是解：ann-府=1 R斑-7勇 n - 98 n - % 9898 - U97 .一、.一_ 一 .数列中的项是函数f(x) = 1 +、98 V 上的一个个孤立点，而f(x)的图象是由x
4、f 98y =的8 - y97右移、茹个单位再上移1个单位得到的，因此f(x)在(-8，伊8)上是减函数。 x在G-;98,+8)上也是减函数，从而可知当n=9时an最小，n=10时，a”最大。最大项和最小项分别为a10,a9。例 4.已知 S = 1 + 1 + 1 + + 1 (n e N*)，n 2 3 n记an = S2n+1- Sg，求数列幺的最小值。1 + . +，2n +11+2n + 2112n + 4 n + 212n + 212n + 41 解：a = S- S =+n2n+1n+1 n + 2 n + 311 则an+1-an = 2n +1 + 2n + 3 一 n +
5、 2 a 1a幺为递增数列 n幺中的最小项为a1 = 3四.以函数y = x + -(x0,a0)为背景的数列xn例5.已知数列a =(n e N*)，则该数列中的最大项是第几项？n n2 +156解：由a =一n一得a =一J联想函数y = x + 56(x0)知函数在(0,*B6)上 n n2 +156 n 156xn +n为减函数。在(t156,+8)为增函数。当且仅当x 156时，函数取最小值，而n e N*。要使n +156的值最小，应使n =方56。 n通过计算验证，可得n=12或13时，a最大。 a12 = a13为数列即中的最大项。五.混合型数列(由一个等差数列和一个等比数列的
6、对应项的积组成的数列称为)例6.已知无穷数列幺的通项公式an =、)，试判断此数列是否有最大项，若有， 求出第几项最大，若没有，说明理由。9n+1(n + 2) 9n(n + 1)解：an+1 - an =10n+1 10n9n(8n)10n+1.当 1 n 8 时，a 1a ，即 a1 a2 a3 8 时，a 1 1时，易见a - a+1 0，即a1 a2 a3 ，所以数列a 中不存在最大项。nn+i23n（2）当 0a 1 时，易见a 一 a 1 = （1 + a）an（n 一）a1（i） 当 0 1，即 0 a 0，即a1 a2 a3 ，所以数列iij中的第1项aj最大。a1（ii）当1= 1，即a = 2时，a a 1 0。（仅在n=1时等式成立）即a1 = a2 a a4 所以数列h 中的第1项和第2项最大（iii）当a 1即a 1时，若a且为整数。1 a21 aa记 1= N，易矢口 a1 a 2 所以数列I 中的第N项和第N+1项最大。若a不是整数，记N为不超过a的最大整数。1 a1 a易见a1 aN+2 所以数列幺中的第N+1项最大。
