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1、一九九九年全国高中数学联合竞赛第一试(10月10日上午8:0:40)一.选择题：(每小题分)1.给定公比为q（q1)的等比数列an，设b1=a1+a2+a3 ,b2=a4+a5a6 , ,=a3n2a3n1a3n ,则数列n ( )（A)是等差数列 (）是公比q为的等比数列 （C)是公比为q3的等比数列 (D)既非等差数列又非等比数列2.平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么满足不等式（x|-1)2+（|y|-1)2的整点(x，y）的个数是（ )()1 (B）17 （)18 (D)253若(lo23)-(og53) x(log2)-(lg3)-y,则（ ) (A)xy0 (B)
2、y （C)x-y0(D）x+0.给定下列两个关于异面直线的命题: 命题1:若平面上的直线a与平面上的直线为异面直线,直线c是与的交线,那么c至多与a ,b中的一条相交。命题2:不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条是异面直线。 那么( ) （A)命题1正确,命题不正确 (B）命题2正确，命题1不正确(C)两个命题都正确 (）两个命题都不正确5.在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样,全部比赛只进行了5场,那么在上述3名选手之间比赛的场数是（ )() (B)1 （C)2 （）6.已知点A(1，),过点(5,-2)的直线与抛物线y2=4交
3、于另外两点B，C,那么AC是( ）()锐角三角形 (B)钝角三角形 ()直角三角形 （D)答案不确定一、 填空题:（每小题分）、已知正整数不超过22X,并且能表示成不少于0个连续正整数之和,那么这样的n的个数是 、已知=acta，那么复数z=的辐角主值是 .3、在BC中，记BCa ,CA= , B= ，若a+b219c2= , 则 4、已知点P在双曲线上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么的横坐标是 .、已知直线ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合-,-,0,1,2,中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,那么这样的直线的条数是 .6
4、、已知三棱锥S-AB的底面是正三角形，A点在侧面SB上的射影H是SBC的垂心,二面角-B-C的平面角等于,=2,那么三棱锥SABC的体积为 .三、（本题满分为20分)已知当,1时，不等式 x2cs-(）+(1-) 2in0恒成立，试求的取值范围。四、(本题满分2分)给定（2，2），已知是椭圆+=1上的动点,F是左焦点,当AB|F|取最小值时,求的坐标。五、(本题满分20分）给定正整数和正数M,对于满足条件a21+2+的所有等差数列a1，a2,a3,，试求=a+1+1的最大值。第二试一、(满分5分)如图,在四边形ABC中，对角线AC平分BAD。在D上取一点E，BE与AC相交于,延长D交B于G.求
5、证:GAC=AC.二、(满分0分)给定实数a，,，已知复数z1,z2,z3满足：求az1bzcz3|的值.三、(满分0分)给定正整数n,已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2，3，,n克的所有物品。（1）求的最小值（）；(）当且仅当n取什么值时,上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的?并证明你的结论。一九九九年全国高中数学联赛解答第一试一.选择题:（每小题分)1.给定公比为q（1)的等比数列an,设b1=2a3 , 2=a+6 , ,bnan-2a-1+a3n , 则数列bn（ )(A）是等差数列 （B)是公比为的等比数列 （C）是公比为q3的等比数列 (D）既非等差数
6、列又非等比数列解:由题设，n1qn- ,则=q. 因此,bn是公比为q3的等比数列.故选平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么满足不等式(|x|-1）2+(|y|1）22的整点（x，y)的个数是( ）（A)16 (B)17 （C） （D）2解:由(|x|1）2(|y-1)22d， 这不可能;故P在双曲线的左支,则 |PF2|PF1=a,PF|F2|=2d. 两式相加得|PF2=2a+d. 又|P2ed，从而=ad. 故=16 因此,P的横坐标为-16=-5、已知直线axbyc=中的a,b,c是取自集合-3,-1,0,1,中的个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么这样的直线
7、的条数是 解：设倾斜角为,则t-0不妨设,则b0. （)=0,a有三种取法,有三种取法，排除2个重复(3x-3=0,x2y=0与x-y=0为同一直线)，故这样的直线有3-27条; (),则有三种取法，b有三种取法，c有四种取法,且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有343条. 从而,符合要求的直线有73条6、已知三棱锥-A的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心，二面角HB的平面角等于30,A2，那么三棱锥BC的体积为 .解:由题设,AH面BC.作SC于E.由三垂线定理可知SCAE,SAB.故SC面AE设S在面ABC内射影为,则SO面AB.由三垂线定理之逆定理,可知OB于F.同理,BOC.故O为AC的垂心.又因为ABC是等边三角形,故O为AB的中心,从而SAS=C=. 因为CB，C是EF在面ABC上的射影,由三垂线定理,EA
