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1、真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。信号采样与恢复过程中的混叠及其滤波一、实验目的：（1）理解连续时间信号的采样与恢复过程；（2）掌握采样序列的频域分析和滤波，信号的恢复，掌握Shannon采样定理；（3）学会利用MATLAB软件分析信号采样、滤波与恢复的过程。（4）学会FIR滤波器的简单设计方法二、实验内容：给定原始信号如下式所示：，其中，是信号原始频率（本实验中为自选常数，为低频，为高频）。确定一个采样频率对进行采样，再将采样得到的序列进行DFT，画出过程中各信号的图形。进行频域高、低频滤波，再反变换得出处理后恢复出来的信号。将实验过程中得到的图形与理论图形进行比较，发现不同点
2、并加以解释。三、实验过程： 先选定f1=50hz、，则原始信号表示为：1、 原信号时域截取：因为在计算机中只能计算离散的点列，若要用MATLAB处理图形，只能先对信号进行截取和采样。本实验选定矩形截取窗口的宽度为原信号周期的m倍，m为正整数。所以画出截取后的信号图像为图1截断后的信号图像原信号中低频为50Hz，高频为70Hz，取采样频率为3倍的，即。50和70的最大公约数为10，所以原信号的最小正周期为1/10s，这里取m为3（即取窗口函数的宽度为3/10s），相应的采样点数，所以窗口函数为其图像如图2所示，其傅立叶变换图像如图3所示，其公式如下：，其中图2 窗函数图3窗函数傅里叶变换（CTF
3、T）时域截取的过程就是原函数在时域乘以，而在频域与做卷积运算后再乘以系数，而在实际计算机仿真过程中，只要选好信号横坐标的范围就完成了截取信号的过程，本实验中取信号横坐标为，截取后的CT信号的傅里叶变换图像如图4所示，其图像在频域坐标轴上向正负无穷延展。图4 截取后的CT信号（）的CTFT2、 截断信号的时域采样 截断后的信号就可以在时域上进行采样，采样函数为，截断后的信号乘以，所以在频域相当于与进行卷积，其得到的图像为周期的，其图像与离散采样信号的DTFT形式相同。以上为CT信号的分析，对于离散信号，为了适应计算机的处理方式，我们需要采用DFT和IDFT进行计算求解。采样后的离散信号图像为下图
4、所示图5 采样后的信号对上述有限的离散信号求DTFT，可以得到其在频域的表现形式，对离散角频率取之间的629个样点，计算其DTFT，并画出图像如下图6 有限采样信号的DTFT频谱如果对上述频谱图进行采样，则相应的，离散采样信号将进行周期延拓，如果在频域进行采样，并保证在一个主周期中，有N个采样点，则离散采样信号将以N为离散周期进行延拓。如果令,则其相当于原始周期信号的采样。利用DFT，我们可以完成这个过程，DFT公式为其类似于DTFS公式，特点是隐含周期性，就得到了离散的频谱，其频谱与连续周期信号的频谱在形式上极为相似，只要保证，频谱赋值在数值上相同。其图像如下：图7 离散信号的DFT离散频谱
5、3、 设计离散滤波器并进行滤波。目前，只进行了低通滤波。目标：滤除70Hz的高频成分，保留直流分量和50Hz的低频成分。方法：采用窗函数法设计FIR滤波器。采用海明窗。具体步骤：（1）、取通带截止频率为，取阻带起始频率为，,取阻带衰减不小于-50db。（2）、求理想滤波器的冲击响应。 (3)、选择窗函数 本实验取海明窗 (4)、确定N值。 海明窗带宽：，所以求得N为35（5）、确定FIR滤波器的 （6）、求 经过计算，得到的滤波器的单位冲击响应和滤波器的频谱图如下图所示图8 滤波器单位冲击响应图9 数字滤波器的频谱图下面进行滤波，把离散信号的DFT离散频谱函数和数字滤波器的频谱函数对应相乘，进
6、行了频域滤波。滤波后的离散频谱如下图所示图10 滤波后的离散频谱图利用IDFT进行反变换得到滤波后的离散信号，其图像如下图11 IDFT后的离散信号4、 离散信号变为连续信号（插值）（1） 利用理想插值函数进行插值，其插值函数图像如下图12 理想插值函数插值效果如下图所示图13 原始信号复原图但是，上述插值在物理世界中，无法实现，因为它非因果，且为无穷信号。与此同时，通过观察发现，在复原图像的边缘误差较大，原因是因为所取的离散信号点为有限个，所以存在误差，当在边界进行插值时，边界另一边没有信号值，所以误差较大，当采样点为无穷个时，理论上可以精确复原原图像，但这在现实生活中，无法实现。（2） 一
7、阶线性插值，其插值函数图像如下 图14 一阶线性插值函数插值效果如下图所示图15 原始信号复原图一阶线性插值插值误差较大，但基本反映出了图像的形态，其在物理上可以实现。通过观察，上述复原图在边缘出也存在较大误差，原因同上，同时因为插值函数具有延时效果，所以复原信号在实间上有延迟，最直观就是比理想复原图向后移动了一小段距离。5、 参数调整 通过上面的实验，我对信号采样与复原过程有了一定的了解，下面通过参数调整来加深理解。（1）窗函数为整数倍周期，否则无法复原为原图像调整截断信号所用窗函数的宽度，使其不等于周期的整数倍。之前取m=3，这里取m=1.5。得到的结果如下，这是因为，利用DFT在计算周期
8、延拓离散信号的频谱的时候，在时域延拓后的图像与原图像已经不一样了。（2）、对于最高频率分量幅值不为零或不趋于零的信号，采样频率要严格大于两倍最大频率 上述实验中采样频率取值为3倍的信号最大频率分量，下面取，实验结果如下通过观察发现，频谱中没有70Hz对应的成分，这是因为以2倍的频率来采样这样的谐波，得到的离散点无法反映该信号的全部特征，在这里对该信号的采样，全部在时刻，当时，所有的采样值都为零，就如上图所示，当取其他值时，将会在频域发生混叠。这里取，改变题干，令，得到的结果，如下所以，对于最高频率分量幅值不为零或不趋于零的信号，采样频率要严格大于两倍最大频率。 ( 3)采样数对于不同实验的实验
9、结果的影响。1）通过实验发现，提高窗函数宽度，即在采样频率不变的情况下提高采样点数，对信号复原效果提高不大。2）通过实验发现，在窗函数宽度不变的情况下，提高采样频率能显著提高信号复原效果，但在信号边缘的误差无法得到显著改善。（4）欠采样时，高频分量会关于采样频率反折而变为低频分量。例如取时，50Hz和70Hz的分量都关与采样频率进行了反折。结果如下四、实验总结和体会（一）此次计算机模拟仿真实验，主要是做了以下一些工作：1、 模拟了连续信号采样和复原的过程。2、 变换了不同的参数，并加以解释，加深了对问题的理解。3、 采用了窗函数法设计了FIR数字滤波器进行了低通滤波处理，画出了滤波效果图。4、 对Matlab的理解和运用有了进一步的提高。5、 只有真正的动手实践，才有可能真正的理解学到的知识，否则只是肤浅的背诵。（二）实验过程主要存在的一些问题：1、 只进行了低通滤波器设计，没有进行高通和带通设计。 /
