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1、 某民族学院理学院2016届本科毕业论文(设计)线性方程组的求解方法及应用学生某：付世辉学 号：021240712 专 业：数学与应用数学指导老师：X先平答辩时间： 2016.5.22 装订时间： 2016.5.28 / A Graduation Thesis(Project)Submitted to School of Science, Hubei University for NationalitiesIn Partial Fulfillment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2016The calculation method
2、and application of the system of linear equationsStudent Name: Fu ShihuiStudent No.: 021240712Specialty:Mathematics And Applied Mathematics Supervisor: Liu XianpingDate of Thesis Defense:2016.05.22Date of Bookbinding:2016.05.28摘要线性方程组在数学领域中的应用非常广泛，是线性代数的主要内容之一. 矩阵及其基本理论是学习线性代数的一种基本工具，矩阵的初等变换则是线性方程组求
3、解的工具. 线性方程组常用的求解方法有一般消元法、克拉默法则、LU分解法等一系列方法，根据问题的不同，我们在求解的过程中选择的方法也就多种多样. 这些方法可以很好地解决线性方程组的求解问题，在求解过程中，向量和矩阵起着一个不可或缺的作用. 在线性方程组的应用方面，除了跟数学理论知识有着密不可分的联系，还和我们的实际生活联系的极其紧密.关键词：线性方程组，矩阵，初等变换，克拉默法则，LU分解法AbstractLinear equations are widely used in the field of mathematics and they are the main contents of
4、linear algebra. The Matrix and its basic theory are basic tool for learning linear algebra, the elementary transformation of the matrix is the tool of the solution of the linear equations, the monly used methods of solving linear equations have the general elimination method, Gramer, the LU depositi
5、on method and so on, is according to the problem, we choose one from a variety of method in the process of solving. These methods can solve the problem solving linear equations, vectors and matrices play integral roles in the process of solving. In the application of linear equations, it has not onl
6、y a close link to the knowledge of mathematical theory, but also very close to our real life.Keywords: linear equations, matrix, elementary transformation, Gramer, the LU deposition method目录摘要IAbstractII1 绪言11.1课题背景11.2课题研究的目的和意义11.3国内外概况12 预备知识22.1 线性方程组22.1.1 线性方程组的定义22.2 线性方程组有解判别定理22.3 线性方程组解的结构
7、32.3.1 齐次线性方程组的性质42.3.2 基础解系及其存在性4 2.3.3 一般线性方程组的解的结构.53 线性方程组的求解方法63.1 一般消元法63.2 克拉默法则63.2.1 克拉默法则求解具备的条件63.2.2 克拉默法则63.3 分解法94 线性方程组的应用134.1 线性方程组在几何学中的应用134.2 线性方程组在高次方程理论中的应用144.3 线性方程组在化学中的应用155 总结与展望.16致谢17参考文献181 绪言本课题阐述与线性方程组有关的求解方法及其广泛应用，线性方程组是贯穿大学线性代数的一个重要工具,它是贯穿向量、矩阵的桥梁. 国内外许多著名的数学学家对线性方程
8、组也做了不少的研究，并且取得了显著的科研成果.1.1课题背景线性代数是大学数学代数学科的一个重要分支，早在中世纪就开始了对线性代数的研究. 而方程组理论则是代数学发展的一个重要方向，也是代数学的核心内容之一. 关于线性方程组的求解，在中国历史上很早以前就进行了研究.对线性方程组的研究，最早记录在公元初九章算术中，远远早于欧洲.大学所学高等代数中求解线性方程组是用一些比较基本的方法，在解决一些比较复杂的问题上有一定的局限性. 本文主要运用了一般消元法、克拉默法则、分解法等解法.针对不同的问题，我们解决这些问题所选择的方法也不尽相同，这些相关的问题都需要我们去解决. 在现代科学计算中的许多问题，例
9、如生活中的营养搭配问题、电路问题均与线性方程组的求解有关.1.2课题研究的目的和意义课题研究的意义：(1) 给出线性方程组的一些求解方法，使读者对线性方程组有更深层次的了解；(2) 线性方程组的应用与我们的生活息息相关，特别是与我们的饮食健康、经济平衡联系的比较紧密，我们可用它解决生活中的一些基本问题。1.3国内外概况对于线性方程组求解方法的研究，国内外许多著名的数学学家对此作出了不少的贡献.随着科学技术的进步，数学已经渗入到各学科之中，甚至渗入到我们的日常生活中. 而我们所学线性方程组的理论知识，则是源自许多著名的国内外学家的著作.在实际生活中，我们需要确定所需目标，并对此目标作出一系列的决
10、策，这些决策中的关键要素就是我们重点研究的对象.。 2 预备知识2.1 线性方程组的定义形如 （2.1）的方程组的叫做线性方程组.其中，代表个未知量，是方程的个数，称为方程组的系数，称为常数项；系数的第一个指标表示它在第个方程，第二个指标表示它是的系数.常记为 .其中，当线性方程组的右端全为零时，该线性方程组就称为齐次线性方程组；当线性方程组的右端不全为零时，该线性方程组就称为非齐次线性方程组.2.2 线性方程组有解判别定理定理2.2.1 线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵与它的增广矩阵有相同的秩.证明：不妨先引入向量 （2.2）于是定理中的线性方程组就可以写成 （2.3） 很明显，该
11、线性方程组有解得充要条件是向量可以由向量组线性表出，定理证明过程如下：必要性 假设该线性方程组有解，那么就是说向量是向量组的线性组合，从而可以得到与向量组等价，又已知等价的向量组有相同的秩，故这两个向量组有相同的秩. 并且这两个向量组分别是系数矩阵与增广矩阵的列向量组. 所以，系数矩阵和增广矩阵有相同的秩.充分性 假设系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，那么它们的列向量组与有相同的秩，不妨让它们的秩都等于.中的极大线性无关组是由个向量组成的，可以假设是它的一个极大线性无关组，故向量可以由线性表出，再加上等个线性无关的向量，可以知道向量可以经线性表出. 所以，该线性方程组有解. 证毕2.3 线性方程组
12、解的结构在上一节，我们解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们这一节还需要探讨一下线性方程组解的结构.2.3.1 齐次线性方程组的性质对于齐次线性方程组 （2.4）它的解所构成的集合有以下两个重要性质：性质1:两个解的和还是方程组的解.假设与是该线性方程组的两个解. 即将这两个解代入到方程组中，每个方程都变成了恒等式. , , 将这两个解的和代入到该线性方程组中，可以得到. （2.5）这就说明了两个解的和还是方程组的解. 证毕性质2：一个解的倍数还是方程组的解.设是该线性方程组的一个解，则有. （2.6）将这个解的倍代入到方程组中，就可以得到. （2.7）这就说明了一个解的倍数还是方程组的解.
13、 证毕2.3.2 基础解系及其存在性（1）如果满足a.方程组的任意一个解可以表示成的线性组合；b.线性无关.那么这组解就称为齐次线性方程组的一个基础解系.（2）在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含 有的解的个数等于，这里表示的是系数矩阵的秩.2.3.3 一般线性方程组的解的结构（1）线性方程组的两个解的差是它的导出组的解；（2）线性方程组的一个解与它的导出组的一个解之和还是这个线性方程组的一个解；（3）在方程组有解的情况下，解是唯一的充要条件是它的导出组只有零解.3 线性方程组的求解方法3.1一般消元法例3.2.1 求消元法求解线性方程组解：下面对这三个方程进行加减运算从而达到消元的目的.第二个方程减去第一个方程的2倍，得,第三个方程减去第一个方程得,将第一个方程、第四个方程、第五个方程综合起来就得到一个新的方程组再分别对这个方程组中的第二个和第三个方程进行加减运算，即第二个方程减去第三个方程的2倍就可以得到可以解出从而原方程组的解为（9，-1，-6）.一般消元法用来计算一些比较简单的线性方程组，是最简单最直接最有效的方法，它的基本思想就是将方程进行加减和代入运算，要转换成矩阵的行初等变换来求解.3.2 克拉默法则3.2.
