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1、椅子能在不平的地面上放稳吗？模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：1、椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。3、对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。假设 1 显然是合理的。 假设 2 相当于给出了椅子能放稳的条件，因为如果地面高度不连续，譬如在有台阶的地方是无法使四只脚同时着地的。 至于假设 3 是要排除这样的情况： 地面上与椅脚间距和椅脚长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰（即连续变化的） ，致使三
2、只脚无法同时着地。模型建立中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论。首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为BB对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量来表示椅子的位置。A其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚C与地面的竖直距离，当这个距离为0 时，表示椅脚着地了。椅子要挪动Ax位置说明这个距离是位置变量的函数。由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，Cf，记 A、C 两脚与地面距离之和为B、 D 两脚与地面距离之和为g，显然 f、 g0 ，由假设2 知 f 、 g 都是连续函数，再由假设 3 知
3、f、 g至少有一个为 0。当0 时，不妨设 g0, fD 0，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：命题已知 f、 g是的连续函数，对任意， f* g=0，且 g 00, f 00 ，则存在0 ，使 g 0f00 。模型求解将椅子旋转900，对角线 AC和 BD互换，由 g 00, f0 0 可知 g20, f20 。令 hfg，则 h 00, h20 ，由 f 、g 的连续性知 h 也是连续函数， 由零点定理，必存在0002 使 h00 ， g 0f 0，由 g0 * f00 ，所以g 0f00 。四、模型的进一步讨论 . 考虑椅子四脚呈长方形的情形设 A、B 两脚与地面之和
4、为f，C、D 两脚与地面距离之和为g，为 AC连线与 x 轴正向1的夹角（如图 2 所示）。显然 f、g0 ，由假设2 知 f 、g 都是连续函数， 再由假设 3 知 f、g 至少有一个为 0。当0时，不妨设 g0, f0，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：命题已知 f、 g是的连续函数，对任意， f* g =0，且 g 0 0, f 00 ，则存在0 ，使 g 0f 00 。图 2长方形椅脚将椅子绕对称中心旋转180（ ），正方形 ABCD变成了 C DA B（如图 2），即 AB与 CD互换，由 g00, f 00可知g0, f0 。令 hfg，则 h 00, h0 ，
5、由 f 、 g 的连续性知 h 也是连续函数，由零点定理，必存在00 0使 h0 0，即g0f 0，由 g0* f00 ，所以 g 0f00 。 . 考虑椅子四脚呈不规则四边形（即任意四边形）的情形在椅子四脚连线所构成的四边形ABCD的内部任取一点O，作为坐标原点， 建立直角坐标系， 记AO与 x 轴正向夹角为，记 A、B 两脚与地面距离之和为 f，C、D两脚与地面距离之和为g ，根据假设3 不妨设当1 时， g10, f10 ，将椅子逆时针旋转一定角度，使A、B 两脚与地面之和为0，此时， AO与 x 轴正向的夹角变为2 ，由假设3（任意时刻椅子至少有 3 只脚着地）易知当2 ， f20, g20 ，令 hfg，则 h10,h20 ，由 f 、g 的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在0102, 10,2 ),2( 1,2 , 使 h00 ，即g0f0，由 g0 * f00 ，所以 g0f 0 0 。图 3 不规则四边形五、评注模型巧妙在于用已元变量表示椅子的位置，用的两个函数表示椅子四脚与地面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转90并不是本质的。 我们在模型的进一步讨论中更证实了更一般的结论：四脚连线为不规则四边形的椅子能在不平的地面上放稳。商人过河问题2
