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1、第八讲 平面向量及向量的应用一、主干知识整合1.向量的概念(1) 概念：既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模长度为0,方向任意的向量为零向量，0与任一非零向量共线.(2) 向量夹角：a, b的夹角记为a, b,范围是0, n .(3) 投影：a, b = 0 , | b| cos 0叫做b在a方向上的投影投影是数量.2 向量的运算与重要法则(1) 加法、减法运算：a+ b为平行四边形法则，a b为三角形法则；(2) 数乘运算：入(卩a)=(入卩)a,(入+卩)a=入a+卩a,入(a+ b)=入a+入b;(3) 数量积运算：a2b=b2a,(a+ b)2c= a2c +b
2、2c,(入 a)2b= a2(入 b)=入(a2b)3 两非零向量平行、垂直的充要条件(1) 共线条件：a, b( b*0)共线？存在 入，a=入b,坐标表示为(xi, yi)=入(X2, y2)? Xiy2=x?yi；(2) 垂直条件：a丄b? a2 b= 0，坐标表示为 X1X2 + y1y2= 0.二、要点热点探究?探究点一向量的概念及线性运算例 1(1)20122 广东卷若向量 BA (2,3) , CAf (4,7)，则 BC=()A. ( 2, 4) B (2,4) C (6,10) D ( 6, 10) 在厶ABC所在的平面内有一点 P,如果2PA+ PC= XB- PB,那么
3、PBC的面积与厶ABC的面积之比是(3 a3)1 1 2B. 2C. 3D. 3?探究点二平面向量的数量积问题例2 (1)20122课程标准卷已知向量a, b夹角为45,且|a| = 1, |2a b| = _ 10,则|b|(2)20122天津卷已知 ABC为等边三角形，AB= 2,设点P, Q满足AP=入XB, Xq= (1 入)AC 入 R.若 6Q Cp= 2 则入 f ()1代2 b.1土，22C.D.Ia| |b|a2b2J a门b |22 2a2b22C.A. 一一一B.?探究点三有关向量的平行、垂直问题例 3 (1)设 x，y R,向量 a= (x, 1) , b= (1 ,
4、y) , c = (2 , - 4)，且 a丄c, b / c,则 | a+ b| =( )a b=茴成立的充分条件是(I a| 丨 b|D . a / b 且 | a| = | b|A. 5 B. 10 C . 2 5 D . 10(2)设a, b都是非零向量，下列四个条件中，使A. a=- b B . a / bC. a= 2b变式题 在厶ABC中，若AB= AB2 AC BA2 热 CA2 SB则厶ABC是 ()A.等边三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .直角三角形如图 2- 8- 1，已知 |OA = 3, |6B = 1 , SA! 6b= 0,/ AO是6，若OF t
5、oA+ OB则实数t等于()?探究点三平面向量的综合应用例4 20122安徽卷若平面向量a, b满足|2a b| | b|0 , a与b的夹角B ?，专且a b和b a都在集合i 2 n Z冲，则a b=()135A. 2 B 1 C.D. 2参考答案：例1 (1) A(2)A例2 (1) 3_ 2 (2)A例2变式题C例 3 (1) B(2)C 例 3 变式题(1)D(2)B9例 4 :一 98示例：1、1【跟踪练】(1) A(2)D备用例题：例 1:答案(2 sin2,1 cos2)解析根据题意可知圆滚动了2个单位弧长，点 P旋转了 2弧度结合图象，设滚动后圆与x轴的交点为 Q圆心为C2，
6、作GM!y轴于M / PCQ= 2,Z PCM= 2 才，二点P的横坐标为2 13cos 2 于?= 2 sin2，点P的纵坐标为1 + 13sinc3.410sin a )? cos a = , sin a =,55则&=10si n4 =3n(7 .2 , ,2)故答案为A.例3：答案C解析本题考查平面向量的数量积的运算以及向量的新定义, 熟悉的问题解决.根据新定义得：突破口是通过新定义把问题转化为a2 bbTT=I a| b|cos B =| b| b|=| a|cos BTbl2，b b2 a_ | a| b|cos B a2 a=| a| a|r且ab和ba都在集合“| b|cos
7、Bw cos B2 n Z冲，所以b1,| b|cos Ba=|a|1 |_b| =12，| a| = 2cos B，所以ab=| a|cos B| b|例2：答案A解析本题考查三角函数的和角公式，点的坐标.设/ POx= a ,因为 P(6, 8)，所以 0P= (10cos a ,=2cos2 B 2,所以 1ab2，所以 ab=|.所以选择 C.【家庭训练题】平面向量及向量的应用I基础演练1设向量a = (1, 0), b= 2, 1，则下列结论正确的是()J2A . |a|= |b|B. ab= C. a / b D . a b 与 b垂直2. 已知ei, e2是两夹角为120的单位向
8、量，a= 3+ 2勺，则|a等于()A . 4 B. ,11 C. 3 D. 73. 对于平面内任意两个非零不共线向量a, b,下列结论错误的是()A.令与b的模相等B. a在b方向上的投影为a-b|a | |b|b|a b a bC. a- b与a+ b共线D.|亍-与- +而垂直4. 已知P是边长为2的正方形ABCD及其内部一动点，若厶FAB , PBC面积均不大于1,则AP2BP 的取值范围是()A. 2, D B . ( 1 , 2) C. 刖 D. 1 , 1I提升训练5. 定义：|a3 b|= |a|b|sin 0，其中 B为向量 a 与 b 的夹角，若 |a|= 2, |b|=
9、5, a b= 6,则 |a3 b| 等于()A . 8 B . 8 C. 8 或 8 D . 66. 已知两点 A(1 , 0), B(1 , .3), O为坐标原点，点 C在第二象限，且/ AOC = 120,设OC= 25a + X)B(X R),贝y 入等于()A . 1 B . 2 C. 1 D . 27. 已知平面向量 a, b满足|a|= 1, |b|= 2, a与b的夹角为60,贝U m= 1是(a mb)丄a的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C.充要条件D .既不充分也不必要条件&在四边形ABCD中，AB = DC = (1 , 0), -BA + -BC =-
10、BD，则四边形ABCD的面积是()|Ba| |BC| |BD|33叮 3A2B. .3C：D29.设i, j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，且 OA = 2i + j, OB= 4i+ 3，则厶OAB的面积等于 .10 .已知a = (1, 2), b= (1, 1), a与a+血的夹角为锐角，则实数入的取值范围为 11.0 O 的半径为 1,点 A, B, C 是O O 上的点，且/ AOB= 30, AC = 2AB,则OA2BC=12. 已知向量 a= (cos0 , sin0 ),0, n ，向量 b= C 3, 1).(1)若a丄b, 求 0的值； 若|2a b| = 120。，故 Sabcd =中3 鸟二宁.BC = -BD，所以四边形 ABCD是边长为1的菱形且|BC| |BD|9. 5BD2，可得 cos BA, BCMBD|7解析由题可知 |OA|=5, |OB|= 5, OA2 OB = 5,
