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1、诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试（A卷）2007线性代数试卷一、填空题（共20分）(1)设A是m x n矩阵，B是m 维列向量，则方程组AX = B无解的充分必要条件 是：(2)已知可逆矩阵P使得P-1AP(COS0sin 0sin 0 cos匕，贝寸 P-1A2007 P =(3)若向量组a二（0，4，t）,6二（2,3, 1),Y=(t, 2, 3)的秩为 2,则 t二(4)若A为2n阶正交矩阵，A*为A的伴随矩阵，） 题答 不 内 线 封 密 （(5)设A为n阶方阵，人气,选择题（共20分），*n是A的n个特征根，则乎人E - Ai i=1(1)右乘一个m阶初等矩阵
2、D,右乘一个门阶初等矩阵(2)若A为mXn矩阵，B是m维 非零列向量，r（A） = r minm, n。集合将矩阵A 的第i列乘C加到第j列相当于对A:乘一个印阶初等矩阵，B左乘一个n阶初等矩阵，M = X : AX = B, X e Rn则A, M是秫维向量空间，C, M是m-r维向量空间,B, M是n-r维向量空间D, A, B, C都不对(3)若n阶方阵A, B满足,A2 = B2,则以下命题哪一个成立A, A = 8 ,B,r(A) = r(B)D,r(A + B) + r(A -B)n(4)若A是n阶正交矩阵,则以下命题那一个成立:A,矩阵A-i为正交矩阵,B,矩阵-A-i为正交矩阵
3、C,矩阵A*为正交矩阵,D,矩阵为正交矩阵(5) 4n阶行列式-10的值为:A, 1,C, nB, -1D, -n0 2 0、2. A =2 0 0R 。bAB = A-i-B ,求矩阵BiA5 rnrn1 .求向量6 =-1,在基a =i0,OL =2i,OL =3i3 ,0L三、解下列各题(共30分)下的坐标。1 3-35计算行列式1 99251 27-271251 81816253.4.计算矩阵A =I-/ -994-6-640 9 、一3 10列向量组生成的空间的一个基。-9 - 3120）abb、b0 2 5.设 A = b b a.bn.b 计算 det A四、证明题（10分）0的
4、一设,q, ,&是齐次线性方程组AX = 0的一个基础解系，门不是线性方程组AX 个解，求证&1 +门,&2+门，& +门,门线性无关。五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵f (x , x , x ) = 4 XX + x 2 + x 2 2 x x 1231 2231 3六、（8分）a取何值时，方程组x + x 一 2 x = a 3x - x + 2x = a 有无数多个解并求通解x + 5 x 一 10 x = 6、123七、(4分)设矩阵AB , A + B都是可逆矩阵，证明矩阵A-1 + B-1也是可逆矩阵。2007年线性代数入参考答案一填空题每个四分(。)
5、rankArank(A|B) 或者 rankA 丰 rank(A|B) (cos 20079sin 20070、sin 2007。cos 20079 ?(2) t= 4 土 2、富3(3) 1(4) 0二选择题(1) D (2) D (3) C (4)都对 (5) A三解答题(1)设向量p在基a, a , a下的坐标为(x , x , x )t，则123123=pf x1 xX3 JX1 + X 2 + X3 = 5 x + x = -1(4 分)x + x = 313x1 = 6 x2 = 2(6 分)x，33AB = A-i - B.(A + E)B = A-iA + E = A-iB-i
6、(2 分). A(A + E) = B-i(0 2 0)(i 2 0)(4 2 0贝 Bi = A( A + E)=2 0 02 i 0=240、0 0 i /、0 0 L0 0 i /(6分)i 3- 3536 i0i -1 i0 6 i2 20=2 x 24 x 2 x i - i 5 = (-96) x 5 x 0 9 -10 24 - 24 i20(3)39 42 3i00 8i 230 78846209 -1= -480 x=-i382408i 23（4分）(6分)(4)(i-3409 )(i-3409 )A 002-38002-38006-92400005、00-8i2-27 /
7、00000 / rank (A) = 3一个基以=(i,-2,-3,3)下，以=(4, -6, -6,4)r,以=(9,-i0, -3,0) ti35(6分)(5)f abbb ）f 了 / b）a J b0 bbb12ni a b12nb a a b00i=1i一 、010a b 00原式=b a 0 a b 00=10 X = 1,X = 00 a b00.2b a 000 a b.、0/、0000 a b /n=（。b5 （a - b）i Ti i=i（6分）四证明：反证：假设它们线性相关，则存在一组不全为零的数,k ,k , ,k ,k使得123 rk （E +门）+ k （： +门）
8、+ , + k （： +门）+ = 0（1）3南尾阵A对上上式作用得r Ak （E +门）+ k （E +门）+ , + k （E +门）+ kn = 04又，E2，e为方2程衣=0的一个基础解故（k + k + k + k + k） An= 05123 r门不题乂 = 0的解 故An 0所以k + k + k + k + k = 06123r由（1）得kE + k E+ k E +（k + k + k + k + k）n = 071122rr 123 rk E + k E+ k E = 01122rr又E，E，E线性无关 12 r（5分）.k = k = k = k = 010f 02-1）
9、-X21五210,（2 分）| A XE |= 21-X0L-101J101 X=（1冗）（X 2 X 5） = 0P=1 旬42 - 22!-4(42 - 2、旬2/2! 顼 42 + 221-4=42 + 221242 + 2屈/(7分)(8分)f (x , x , x )=产 + 号2!12312r11-2! a、,r+ r2000:6 3ar 一 rL-400I 6 5ajL1-40六，证明r 11-2a r 11-21r11-2a、(A |B)=3-12ar2 + 3400；2a |r3-5r11400 2aL15-10；6 ；L15-10；6 J 1*0016-5aJ方程组的增广矩
10、阵一2! a 0 6 - 5a I20 ; 6 - 3a rank (A) = 24如果方程有无穷多个解则rank(A | B) = 2:6 3 a = 06| x + xo 一 2 x = 0 当。=2时原方程有无数个解，且原方程等价于气2 -4 3A, B, A + 8都是可逆矩阵有A-1 + B-1 = A-1E + EB-1 = A-1BB -1 + A-i AB -1 = A-i (B + A) B -1 2A, B可逆A-1, B-1也可逆:A-1 （B + A）B-1也是可逆矩阵.A-1 + B-1是可逆矩阵诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试卷）2007线性代
11、数试卷一、填空题（共20分）(1)设A是m x n矩阵 条件是：B是m 维列向量，则方程组AX = B有唯一解的充分必要(2)(3)(cos0sin 0若向量组a=(0, 4, t),B=(2, r二已知可逆矩阵P使得P-1AP =sin 0 )A cos0 ) 3,1),y=(t, 2, 3)的秩 r 不为 3,则，贝寸 P-1 (A2007 + A-2007 )P =（4）若A为2n+1阶正交矩阵，A*为A的伴随矩阵，（5） 题 答 不 内 线 封 密（设A为n阶方阵，人,气，人是A的n个特征根，则乎i=1、选择题（共20分）（1）将矩阵A 的第i列乘相当于对A:A,左乘一个印阶初等矩阵，B,右乘一个印阶初等矩阵左乘一个门阶初等矩阵，D,右乘一个门阶初等矩阵X G Rm则密（2）若 A 为 mXn 矩阵，r（A） = r minm, n。集合M = X : X A = 0,B, M是n-r维向量空间D, A, B, C都不对二A, M是m维向量空间，C, M是m-r维向量空间，（3）若n阶方阵A, B满足，A2 = 4 B 2则以下命题哪一个成立B，r (A) = r (B)D， 都不对A, A = 2B，C， det A = 2det B，（4）若A是门阶初等矩阵，则以下命题那一个成立:A，矩阵A-1为
