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1、角的平分线的性质一.基础知识1角的平分线的性质(1)容角的平分线上的点到角的两边的距离相等.(2 )书写格式如图所示， PD = PE.2. 角的平分线的判定(1)容角的部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.(2 )书写格式如图所示，/ PD 丄 OA, PE 丄OB, PD = PE,点P在/ AOB的角平分线上.3. 运用角的平分线的性质解决 实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的 距离.在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可.运用角平分线的性质解决实际问题时， 一定要把
2、实际问题中道路、 河流等抽象成数学图 形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法.4. 运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线).然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联 想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题.解技巧 巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键.找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离 相等或要找到到两条直线的距离
3、相等的点.5综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下：I点在曲的平分SE性门判 质I足I点到帝两边的距离相铜对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据.析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等.同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可.6运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定 位置（如建货物中
4、转站、建集市、建水库等 ）的问题，常常用到角的 平分线的性质来解决尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法.三角形有三条角平分线交于三角形部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条 角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点.三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等.三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.【例6】如下图所示，三条公路li, |2, 13两两相交于A, B, C三点，现计划修建一个 商品超市，要求这个超市到三条公路
5、的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；/ ACB , / ABC的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在/CAB的平分线上，且到公路li, |2, |3的距离相等；同理还有/ BAC ,Z BCA的外角平分线的交点；/BAC,Z CBA的外角平分线的交点，因此满足条件的点共有4个.Oi : 。孑W少、 / /X /h / /Vo2作法：（1）如右图所示，作出 ABC两角/ BAC ,Z ABC的平分线的交点 01.（2）分别作出/ ACB，/ ABC的外角平分线的交点 02，/ BAC，/
6、 BCA的外角平分线 的交点03,/ BAC ,Z CBA的外角平分线的交点 04;故满足条件的修建点有四处，即点 01 , 02, 03, 04 处.课堂练习一、填空题1. 已知： ABC中，/ B=90,/ A、/ C的平分线交于点 0,则/A0C的度数为.2. 角平分线上的点到 巨离相等；到一个角的两边距离相等的点者E在.3. / A0B的平分线上一点M , M到0A的距离为1.5 cm,则M到0B的距离为 4 .如图，/ A0B=60, CD 丄 0A 于 D , CE丄 0B 于 E, 且 CD=CE，贝D0C=.5. 如图，在厶ABC中，/ C=90, AD是角平分线，DE丄AB于
7、E,且DE=3 cm,BD=5 cm,贝U BC=cm.第5题6. 如图，CD为RtAABC斜边上的高，/ BAC的平分线分别交 CD、CB于点E、F, FG丄 AB,垂足为 G,贝U CF G , CECF.7. 如图，已知AB、CD相交于点E, / AEC及/ AED的平分线所在的直线为 PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是.8. 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到 目等.9. 点0是厶ABC一点，且点0到三边的距离相等，/ A=60,贝U/ B0C的度数为.10. 在 ABC 中，/ C=90,AD 平分/ BAC交 BC 于 D，若 BC=32 且 BD : CD=9 :7,
8、则D到AB的距离为.、选择题11 三角形中到三边距离相等的点是（）A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点C、三条中线的交点D、三条角平分线的交点12.如图，/ 1 = / 2, PD丄OA, PE丄OB，垂足分别为D , E,下列结论错误的 是（ ）A、PD = PEB、OD = OEC、/ DPO=/ EPOD、PD = OD13.如图，直线11, 12, 13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（A、1处B、2处C、3处14.如图， ABC 中，/ C = 90, AC= BC, AD 平分/ CAB 交 BC 于 D, DE
9、丄AB于E,A、4 cm且AB= 6血，则厶DEB的周长为（6 cmB、C、10 cm）D、不能确定第12题15.如图,MP丄NP,结论中不正确的是（MQMNP的角平分线,A、TQ = PQB、/ MQT=/ MQPC、/ QTN= 90D、/ NQT=/ MQTT第15题16. 如图在厶ABC中，/ ACB=90, BE平分/ ABC, DE丄AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于（A. 2 cm B. 3 cmC. 4 cmD. 5 cm17. 如图，已知 AB=AC, AE=AF, BE与CF交于点D，则对于下列结论：厶ABEA ACF:厶BDF CDE:D在/BAC的平分线上.
10、其中正确的是( )A.B .C .和D .D18. 如图，AB=AD, CB=CD, AC、BD相交于点0,则下列结论正确的是 （）A. OA=OCB.点O到AB、CD的距离相等C.Z BDA=Z BDCD .点O到CB、CD的距离相等19. ABC中，/ C=90,点OABC三条角平分线的交点，OE丄 AC 于 E, OF 丄AB 于 F，且 AB=10cm, BC=8cm, AC=6cm,则点 O 到三边AB、AC、BC的距离为（）A. 2cm, 2cm, 2cm；B. 3cm, 3cm, 3cm；C. 4cm, 4cm, 4cm；D. 2cm, 3cm, 5cm20. 两个三角形有两个角
11、对应相等，正确说法是（）A.两个三角形全等B.如果还有一角相等，两三角形就全等C.两个三角形一定不全等D .如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等三、解答与证明21. 如图，已知 ABC中，AB=AC, D是BC的中点，求证：D到AB、AC的距离相等C22.证:C女口图，已知BE丄AC于E, CF丄AB于F, BE、CF相交于点D，若BD=CD.求 AD 平分/ BAC.23.女口图，已知BE平分/ ABC, CE平分/ ACD，且交BE于E.求证：AE平分/ FAC.24.女口图，已知AB=AC，AD=AE，DB与CE相交于O.若DB丄AC于D，CE丄AB于E，试判断OE与OD的大小关系.
12、并证明你的结论.（2）若没有第（1）中的条件，是否有这样的结论？试说明理由25.如图，/ B=Z C=90 M是BC的中点，DM平分/ ADC，求证：AM平分/ DAB.重点题型讲解1. 如图已知在厶ABC中，/ A、/ B的角平分线交于点 0,过0作0P丄BC于P, 0Q丄AC于Q,AB 于 F,若/ A=60 ,求证：0E=0F .2. 如图.AE、BD是厶ABM 的高.AE、BD交于点C,且AE=BE , BD平分/ ABM .(1) 求证：BC=2AD ;(2) 求证：AB=AE+CE ;(3) 求证：DE平分/ MDB3. 如图，点M (2, 2),将一个90的角尺的直角顶点放在点
13、M处，角尺的两边分别交 x轴、y轴正 半轴于A、B，AP平分/ OAB，交0M于点P, PN丄x轴于N,把角尺绕点 M旋转时：a(3)求/ CHE的度数.(用含a的式子表示)AD、BE交于点H，连CH .B10 (1)求证：0M平分/ AOB ;| (2)求OA+OB的值家庭作业1角平分线上的点到 距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在2、/ AOB的平分线上一点 M , M至U OA的距离为1.5 cm，贝U M至U OB的距离为 3、如图，/ AOB=60 , CD 丄 OA 于 D, CE丄 OB 于 E,且 CD=CE，则/ DOC=.4、如图，在厶ABC中，/ C=90 , AD是
14、角平分线，DE丄AB于E,且DE=3 cm, BD=5 cm,a第3题第4题则 BC=cm.5、 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到 相等。6、 点 O是厶ABC 一点，且点 O到三边的距离相等，/A=60 ，则/ BOC的度数为7、在厶 ABC 中，/ C=90, AD 平分/ BAC交 BC 于 D，若 BC=32，且 BD : CD=9 : 7,则D到AB的距离为.）B、三条高的交点D、三条角平分线的交点8、三角形中到三边距离相等的点是（A、三条边的垂直平分线的交点C、三条中线的交点9、如图，/ 1 = / 2, PD丄OA, PE丄OB，垂足分别为 D , E,下列结论错误的是（）A、PD = PEB、OD = OEC、/ DPO = / EPOD、PD = OD10、如图，直线11, 12, 13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A、1 处B、2 处C、3 处D、4 处C11、如图， ABC 中，/ C = 90, AC = BC, AD 平分/ CAB 交 BCD于 D, DE丄 AB于 E,且AB = 6叫则 DEB的周长为（）/A、4
