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1、24.12 垂直于弦的直径教学设计义务教育课程标准实验教科书（人教版）数学九年级上册设计理念从学生已有的生活经验和认知基础出发，让学生主动地实行学习。通过动手操作让学生理解圆是轴对称图形以及它的对称轴；通过推理让学生理解垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决相关的证明与计算问题。从而感受感受数学源于生活，更好地理解数学知识的意义，体现“人人学有价值数学”的新课程理念。整个数学设计流程突出以学定教，激发学生探究、发现数学的兴趣和欲望体现“设计问题化，过程活动化，活动练习化，练习要点化，要点目标化，目标课标化”的要求，将教学过程设计为有一定梯次的递进式活动序列。学情分析教学对象是九年级学生，九
2、年级学生的心理特点（追求效率、喜欢精简、喜欢快节奏）和已有的知识基础（已学过轴对称、中心对称、圆的基本概念），所以，在教学中采取的是从折纸开始，引导学生从已知的、熟悉的知识入手，让学生自己在某一种环境下不知不觉中使用旧知识的钥匙去打开新知识的大门，进入新知识的领域，从不同角度去分析、解决新问题，通过探索发现、夯实基础、更上层楼和解决问题等环节发掘不同层次学生的不同水平，从而达到发展学生思维水平的目的。知识分析 作为圆这章的第一个重要性质，它研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系。该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了
3、方法和依据。学习目标知识与技能（1）通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性。（2）掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决相关的证明与计算问题。过程与方法经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。情感态度与价值观（1）结合本课教学特点，向学生实行爱国主义教育和美育渗透。（2）激发学生探究、发现数学的兴趣和欲望。教学重点垂径定理、推论及其应用教学难点发现并证明垂径定理教学方法“尝试指导，效果回授”教学法学法指导发现法、练习法、合作学习。教学资源借助PPT软件展示引例及变式训练题组，增大课堂容量，吸引学生眼球，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提升课堂教
4、学效率。教学评价1、评价量规：随堂提问、练习反馈、作业反馈2、评价策略：坚持“即时评价与激励评价相结合，定量化评价与定性化评价相统一”的原则，最大限度地做到面向全体学生，充分注重学生的个性差异，将学生自评、生生互评和教师概括引领、激励测进式点评有机结合，既有即兴评价，又有概要性评价；既有学生的自评，又有师生、生生之间的互评，力求在评价中协助学生理解自我、建立自信，使其逐步养成独立思考、自主探索、合作交流的学习习惯。教学流程活动流程活动内容及目的活动一 创设情境，导入新课（46分）以本县“双高普九”迎验和教育创强为载体，以赵州桥的形状为背景创设问题情境，在揭示课题的同时协助学生理解数学与生活的密
5、切关系，激发其求知欲；通过问题2故旧导新，协助其发掘新知固着点。活动二 诱导尝试，探究新知（1516分）出示教材P81探究，以此引领学生探究发现结论。活动三 变式训练，巩固新知（1415分）通过有梯次的两到例题和一组练习题，巩固定理，达到举一反三，触类旁通。活动四 全课小结，内化新知（45分）将知识归类细化，纳入已有的知识体系。活动五 推荐作业，延展新知（23分）分类推荐、分层要求，将探究兴趣由课内延伸到课外；即时捕捉学生学习状况，适时实行有效诊断评价、反馈补救、长善救失。教 学 程 序问题与情境师生互动媒体使用与教学评价活动一创设情境，导入新课1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)
6、的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,你能求出主桥拱的半径吗？通过这节课的学习，我们就会很容易解决这个问题。【教师活动】教师利用多媒体出示赵州桥图片，介绍赵州桥资料：世界上现存最早、保存最好的石拱桥，被誉为“华北四宝之一”，充分体现了我国劳动人民的创造智慧。【学生活动】学生观察、分析、体会，初步感知。【媒体使用】（1）出示问题（2）出示问题中的赵州桥图片。【赏 析】（1）问题旨在协助学生理解数学与生活的密切关系，激发其求知欲，使“课伊始，趣已生”。（2）结合赵州桥资料的介绍，想学生实行爱国主义教育和美育渗透。活动二 诱导尝
7、试，探究新知（一）实验发现实验：用纸剪一个圆（课前布置学生做好），沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（）圆是轴对称图形吗？（）如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？（）你是用什么方法解决上述问题的?（）圆是中心对称图形吗？（）如果是,它的对称中心是什么?（）你又是用什么方法解决这个问题的?（二）探索如图1,AB是O的一条弦,作直径CD,使CD AB,垂足为M.OABCDM(1)这个图形是轴对称图形吗?若是,那么它的对称轴是什么?(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?请说明理由.。通过上面的问题我们就能得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且
8、平分弦所对的两条弧。（三）验证已知：在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E。求证：OABCDM分析：如图，连接OA、OB，则OA=OB，结合轴对称证明。下列图形是否具备垂径定理的条件？OA(四)推论的探究通过上述类似的方法可得：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。注意：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都能够推出其他三个结论。判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧. ( )（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并
9、且经过圆心. ( )（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分. ( )（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ( )（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）【教师活动】（1）组织学生实验操作，引导学生发现结论。（2）用电脑演示过程。（3）对学生动手总结的结论给出适当的评价。【学生活动】（1）学生折叠实验，观察分析，总结结论，解决问题1、2。（2）合作交流，将自己的结论与师生实行交流。（3）学生先自主、在合作，完成证明过程。养成良好的分析问题和解决问题的水平和习惯。（4）对于定理的验证和推论后设计的联系积极思考，踊跃回答。（5）注重并评价同伴解决问题的方法。【媒体使用】依次出示
10、实验和问题1、2【赏 析】（1）让学生亲自动手实行试验、探究、得出结论，的求知欲望。（2）通过探索中提出的问题引导学生探究、发现垂径定理，初步感知。（3）教师通过引导学生自主、合作、探究、验证结论，培养学生分析问题，解决问题的意识和水平。活动三 变式训练，巩固新知例如图，在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC = BDABCDO例2 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图) 的桥拱是圆弧 形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 耐心填一填:B1、如图1,在圆O中,
11、若MNAB,MN为直径,则_, _, _. AMNCO图一2. 如图2,已知圆O的半径OA长为5,直径MN垂直于AB,AB长为8, 则OC的长为( ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 103. 如图2:MN为圆O的直径,AB为弦,MN垂直于AB于 点C,则下列结论错误的是( )A. AOC= BOC B.AC=BC C.MC=NC D.AN=BN OABNMC图二4、如图1，在O中, AB是 弦, OC = OD。求证：AC = BD ABCDOABCDO图1 图2 5、如图2，在O中, CD是弦, OA = OB。求证：AC = BD【教师活动】（1）出示例1，引导学生分析解题关键。强调
12、辅助线的重要性。（2）出示例2，和本节课的引入相呼应，引导学生用本节课所学知识解决问题。（3）出示巩固练习（耐心填一填），每道题让学生适当思考后作答。（4）及时对学生的作答情况给予评价，对重点问题进行强化、点拔方法、总结规律，关注学生中存在的共性问题，做好补教。对于好的做法加以鼓励表扬。【学生活动】（1）积极参与解决问题，配合老师，共同完成例1（2）将实际问题转化成数学问题，努力思考赵州桥一例中提出的问题。（3）独立完成耐心填一填，再将自己的成果与集体进行交流、评价。【媒体使用】（1）出示例1、例2及其答案；（2）出示耐心填一填的有关题目。【赏 析】（1）灵活运用已有知识，强调辅助线的功能，使
13、学生掌握一个解题技巧。（2）例2将本节课开始设下的疑问拿出来做一解决，使学生有一种收获感和成就感。（3）将实际问题转化为数学问题。培养学生的应用意识和能力。（4）多媒体的使用 有利于节时增效，吸引学生眼球，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。活动四 全课小结，内化新知（1）自主小结：对自己谈本节课有哪些收获？对同伴谈在学习本节内容时应注意什么？对老师谈本节课学习中还有哪些疑惑？（2）教师概括小结，重点强调：1.圆的对称性2.垂径定理及推论3.技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线4.思路：（由）垂径定理构造Rt（结合）勾股定理建立方程【教师活动】引导学生自主小结的基础上，进行概括小结，教师应关注学生的表现，包括知识掌握情况、情绪状况等。【学生活动】按要求，进行自主小结，注意倾听同伴意见，反思梳整存在问题。【媒体使用】（略）【赏 析】使所学知识条理化、系统化；让学生在交流中共享，在反思中提升。活动五 推荐作业，深化新知1、必做题 教材第89页习题24.1第8题，第90页12题。2、选做题已知：在半径为5cm的O中，两条平行弦AB，CD分别长8cm、6cm.求：两条平行弦间的距离。【教师活动】课件展示作业题【学生活动】按照要求自主完成作业【
