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1、行列式计算7种技巧7种手段【说明】行列式是线性代数地一个重要研究对象，是线性代数中地一个最基本，最常用地工具记为det（A.本质上，行列式描述地是在n维空间中，一个线性变换所形成地平行多面体地体积,它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等鉴于行列式在数学各领域地重要性，其计算地重要性也不言而喻，因此，本人结合自己地学习心得，将几种常见地行列式计算技巧和手段归纳于此，供已具有行列式学习基础地读者阅读一 7种技巧：【技巧】所谓行列式计算地技巧，即在计算行列式时，对已给出地原始行列式进行化简，使之转化成能够直接计算地行列式，由此可知，运用技巧只能化简行列式，而不能直接计算出行列 式技巧1:
2、行列式与它地转置行列式地值相等，即d=dta11ai2川aina11a21IIIan1a21*fa22*小a2nq4=ai2i4a22Fr* 11an2I*an1an2w川ann1ainra2nIIItann技巧2:互换行列式地任意两行（列，行列式地值将改变正负号anai2IIIaina2ia22IIIa2na21+a22+川a2n=aiirai2Finai nr+an1+an2川annran1卜an2infann技巧5:将行列式地某一行式地值不变k后加到另一行（列 对应地元素上，行列技巧3:行列式中某一行（列地所有元素地公因子可以提到行列式记号地外面biaiib)ai2IIIbiama11a
3、i2IIIainIb?a21卡ba22r*IIIba2nr9=a2ia22IIIa2n*rbian1FbnQn2IIIFbn nanian2III*annn11 bni=1aii+ai2IIIainFa11rai2IIIainaii+ai2HIai nr+bi Si+r5 +2IIIrbtn 8nF=r btirIIIqbtn+Cti+hCt2HIrCtnr+aniran2IIIrannran1an2IIIqann+anian2HIrann技巧4:行列式具有分行（列 相加性（列地各元素乘以同一数a11+ai2IIIai n+a11ai2*+inF+as1+as2IIIasn+asi +kQi+
4、as2 + kat2*+inrasn * k9tnF+at1+Q2IIIatn+9at1+at2*+inrQnF+an1an2川ann9an1+an2IHrann技巧6:分块行列式地值等于其主对角线上两个子块行列式地值地乘积a11IIIaim0III0+bI-ai1IIIaim IIbiiHIbmam1IIIamm0III0+:C11IIIC1mbiiIIIbn+a i iH+bb-amiIIIamm| bniHIbnnCniIIICnmbniIIIbnn技巧7:拉普拉斯按一行(列展开定理行列式等于它地任一行(列地各元素与其对应地代 数余子式乘积之和nnD 八 Ak(i =12 III，n)=
5、、aAjU =1,2,川，n)k Ak二.7种手段：【手段】所谓行列式计算地手段，即在计算行列式时，观察已给出地原始行列式或进行化简后 地行列式，只要它们符合已知地几种行列式模型，就可以直接计算出这些行列式手段1:对于2阶行列式和3阶行列式，可以直接使用对角线法则进行计算ai1a21ai2a22aii a22ai2 a2iai1ai2ai3a21a22a23= aiia22a33 +ai2a23a31 +ai3a2ia32 41*23*32 ai2a2ia33 ai3a22a31a31a32a33手段2:对于4阶以上地行列式，若行列式中有很多元素为零，则根据定义进行计算较为方便 否则较为复杂(
6、常见于计算机程序和数学软件aii定义:a21ai2a22IIRan2IIIIIIIIIaina2nann（一1）5咲吨aippJHanpPi P2”l Pn运用数学软件Matlab按定义计算4阶行列式： syms a b c d e f g h i j k l m n 0 p A=a,b,c,d。e,f,g,h。i,j,k,l。m,n,o,pA =a, b, c, de, f, g, hi, j, k, lm, n, o, p det(Aans =a*f*k*p-a*f*l*o-i*a*g*p+i*a*h*o+a* n*g*l-a* n*h*k-e*b*k*p+e*b*l*o+i*e*c*p-
7、i*e*d*o- e*n *c*l+e* n*d*k+i*b*g*p-i*b*h*o-i*f*c*p+i*f*d*o+i* n*c*h-i* n*d*g- m*b*g*l+m*b*h*k+m*f*c*l-m*f*d*k-i*m*c*h+i*m*d*g手段3:上三角行列式，下三角行列式，主对角线行列式，副对角线行列式ana12lli3i nBn0 川 00&22川a2nn321&22III 0n I=11aii，: : :=11 aii ，* rN4: :700川annan1an 2川 ann*=片兀2川码（其余未与出兀素均为零），入n(n亠# -2d*=(-1) 2打初川入（其余未写出元素均为
8、零）打手段4:若行列式中有两行（列对应元素相等，则此行列式地值等于零-0手段5:若行列式中有一行（列地元素全为零，则此行列式地值为零手段=06:若行列式中有两行（列元素成比例，则此行列式地值等于零kakbkckd手段7:范德蒙德（Vandermonde行列式11川1XiX2川XnXi2X；川X = H （Xi -为）*n+di+Htn 二n 二l hndXX2III Xn三.跟踪训练【解题思路】为了使读者能够巩固前文叙述地7种技巧和7种手段，本人附上一些行列式地习题以供参考解题时，一般先观察题目所给出地原始行列式，若原始行列式能够用7种手段地其中一种进行计算，则可直接得出答案，否则，一般先利用
9、7种技巧对原始行列式进行化简，使之转化成能够用 7种手段地其中一种进行计算地行列式，再得出答案读者在利用7种技巧时，要注意技巧之间地搭配使用计算下列行列式地值：习题1:120-1 1-43-18解答:1 2 0-1 1-4 =1汉1 8+2（4）汉3+0 汇（一1）汉（一1） 0汉1 汇 3 2汉（一1）汉81 汉（一4）汉（一1）=43-18手段1 习题2:0bf0000da00000ce0 b f 00 00da 0000 0 c e解答:(p1 p2 p3 p4 ),Pl P2 P3P4(_1)ap11ap22ap33ap4 4观察行列式中元素（的位置及由4级排列中各数不能相等知Pl =
10、3, p2 二1,5 = 4, P4 = 2,（P1P2 P3 P4） = （3142） = 3,因此00a0b0000d0e3=(-1) &3佝2&43&24 二-abed手段2习题3:12345678910111213141516解答：123411315678C2 C|5171=0910 1112C4 -Q39111113 14 15 1613 115 1技巧5,手段4习题4:3-33x -33-3x+3-33x 33-3x+3-33-3解答:3-33x3x-33x-33-3x+3-34x-3x+3-3C1ci3x33-3i =2xx -33-3x+3-33-3x-33-31-33x-32 A1-33x - 31-3x+33x00x-x1x -33-30x0-x1-333J 1000-x=X13x 3_x-x-x技巧2,技巧3,技巧5,手段3习题5:Qba1b2abaib4aib2a2b2a2b3a2b4ada2b3a3b3asb4db4a?b4a3b4a4b4解答:a4a?a 2匕4a3b4a4b4a1b2由于行列式a2b2a?b4 b?D =叩2隔 a2b3a2a1b4a1b2aga1b4a2b3a2b4和a2b2a2b3a2b4有两行元素成比例，因此值为0,a3b4a4b4a2b3a3b3a3b4b3b4
