《高中数学苏教版必修四学案章末复习课3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学苏教版必修四学案章末复习课3（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、章三角恒等变换【学习目标】1进一步掌握三角恒等变换的方法2会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明.U知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式COS( a 3 =.COS( a+ 3 =.sin( a+ 3=.sin( a 3=.tan( a+ 3 =.tan( a 3 =.2二倍角公式sin 2 a=COs 2 a=tan 2 a=3 升幕公式1 + COs 2 a=1 COs 2 a=4 降幕公式22sin xcos x=,cos x=,sin x5.和差角正切公式变形tan a+ tan 3=tan a tan 3=6.辅助角公式y= asi
2、 n wx+ bcos wx=题型探究 类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用4 1例1 已知a, B为锐角，COS a=, tan( a 3 =，求COS B的值.5 3a= ( a+ 3 3 a= 3 ( B- M,反思与感悟给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换 时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，女口1 1a= 2( a+ 3 +(a , 3= 2( a+ 3 (a 3 等.跟踪训练1如图，在平面直角坐标系 xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角a 3它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,3伍眾10 ，5(1)求 tan( a 3 的值;求a+
3、3的值.类型二整体换元思想在三角恒等变换中的应用例2 求函数f(x)= sin x+ cos x+ sin x cos x, x R的最值及取到最值时x的值.推理，这个“元”可以明确地设出来.跟踪训练2 求函数y= sin x+ sin 2x cosx(x R)的值域.类型三转化与化归思想在三角恒等变换中的应用例 3 已知函数 f(x) = 2yf3sin(x 3Rsin才 + 2sin2+ 字1, x R.(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0,才上的最大值和最小值；,求cos 2x0的值.6 厂 _n(2)右 f(xo) = 5, xo反思与感悟(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用
4、三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)本题充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.2n ,317 n 7 n 土 sin 2x + 2sin x跟踪训练3 已知cos -+ x =- x ，求的值.划 丿 51241 ta n x类型四构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用例4 已知sin x+ 2cos y = 2，求2sin x+ cos y的取值范围.反思与感悟在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法
5、建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决.跟踪训练4 已知关于B的方程 3cos 0+ sin 0+ a = 0在区间(0,2 n上有两个不相等的实数解a, 求 COS( a+ 3 的值.当堂训练1 .已知 sin 0+ cos 0= 3那么sin 0=,cos 2 0=2 .已知0是第三象限角，且445sin 0+ cos 0= 9,则 sin 2 0=3 .已知 sin a+ cos 3= 1，sin1 小3 cos a= 2，贝U sin( a 3 =4 .设a为锐角，若cos a+ 6 = 5,则sin 2 a+ in的值为5.已知函数f(x) = cos xn 厂 2sin(x+
6、3) 3cosx+x R.(1)求f(x)的最小正周期;n n求f(x)在闭区间4，4】上的最大值和最小值.厂规律与右法本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确,快速化到最简，再进一步研究函数的性质.21 2sin a2ta n a1 tan a答案精析知识梳理1. cos ocos 3+ sin osin 3cos acos 3 sin asin 3sin ocos 3+ cos asin 3sin acos 3 cos asin 3tan a+ ta n 3 tan a
7、tan 3 tan 3= tan a (a 3)tan a tan a 3 i 131 + tan atan a 393是锐角，二 cos 3=9，1050223. 2cos a 2sin asin 2x 1 + cos 2x 1 cos 2x4. 2225. tan( a+ 3)(1 tan atan 3)tan( a 3(1 + tan aan 36. a tan dan 3 1 + tan atan 3 222. 2sin ocos a cos a sin a 2cos a 1 + b2sin( 3X+ 0)题型探究4例1 解 T a是锐角，cos a= 4,5跟踪训练1解（1）由题可知
8、,cos a=31010 ，cos 3=2,55由于a, 3为锐角，则sin a=普0,sin 3= 5，故tan a=3, 3 tan a=. = 2,11tan a tan 33 2则 tan (a 3)=-1 + tan Otan 3 ,11 + 6因为tan(a+ 3)=1+1=1,sin a=嚅冷,sin 3=nn即a+ 故 例 2 解设 sin x+ cos x= t,x+ 4,则 t = sin x+ cos x= 2 -sin x+cos x = .2sin x t 2,.2,(s in x+ cos x) 1 t 1 sin x cos x=2 2 f(x) = sin x+
9、 cos x+ sin x cos x,t 112厂 厂 g(t) = t +=2(t+ 1)2 1 , t 2,.2.当 t = 1，即卩 sin x+ cos x= 1 时，f(x)min = 1,此时，由 sin x+ n = ，n解得 x= 2k n n或 x = 2k n ?, k Z.当 t = ,2，即 sin x+ cos x= . 2时,1f(x) max= 一 2 + 2，此时，由寸2sin+ ：丿=灵,即 sin x + 4 = 1,k Z解得 x= 2k n+ 4, k Z .综上，当 x= 2kn n或 x= 2kn k Z 时，f(x)取得最小值，f(x)min =
10、 1；当 x= 2kn+ 4,1时，f(X)取得最大值，f(x) max = 2+ 2 跟踪训练2 解 令sin x cos x = t,则由t=口,t .2,2.又 sin 2x= 1 (sin x cos x)2= 1 t2,2/15 y = (si n x cos x) + sin 2x= t + 1 t = 刃 + 玄.1 5当 t = 时，ymax = 4；当 t = 2时，ymin= ：-： 2 1.函数的值域为 /2 1 , 41例 3 解 因为 f(x) = 3(2sin xcos x) + (2cos2x 1)= 3sin 2x+ cos 2x= 2sin 2x+所以f(x)
11、的最小正周期为 又因为x 0 , 2,所以2x+訴 in，所以f(x)的最大值为2,最小值为1.(2)由(1)可知, f(xo)= 2sin 2x0+ n 又因为f(x) = 6所以 sin 2xo+ 6 =n n|A，2 J得 2xo+7n6所以 cos 2xo + 6 =sin2 2xo45，sin 2x0+ n sin n10跟踪训练3解22sin 2x+ 2sin x 2sin xcos x+ 2sin x1 tansin x1 cos x2sin xcos x cos x + sin xsin 2x 1+ tan xcos x sin x1 tan xi n=sin 2x tan 4
12、 + x .17 n 7 n 5 n n -12x7，亍x+ 42 n n 、3又cos 4+x = 5, sin n+45. tan n+43.二 cos x= cos !?+=cos n+ x cos n+sin n+ x sin n=色 i3 4 L 返2 5510./ sin x= sin一 n+=sin n+ xfcos n+ x =山10，27sin 2x+ 2sin x 28sin 2x=. =去.251 tan x75例 4 解设 2sin x+ cos y= a.sin x+ 2cos y = 2,2sin x+ cos y = a,2a 2sin x=解得cos y =1
13、w w 1 ,3 从而1 w 口 w 1,L35解得K aw 2.故2sin x+ cos y的取值范围是-2 . 2x + y = 1, a/3x+ y+ a = 0,跟踪训练4 解 设x= cos 0, y= sin 0,则有消去y,并整理得4x?+ 2、3ax+ a? 1 = 0.由已知得cos a, cos 3是的两个实数解,由根与系数的关系，得cos a+ cos 3= a,2 1a i cos acos 3= 4.- sin asin 3= (J3cos a+ a)( . 3cos 3+ a)a最大值为才，最小值为- 一 3 =3cos acos 3+”J 3(cos a+ cos a+ a2= cos(a+ 3 = cos acos 3 sin ain当堂训练5.(1) n1- 7 2车 3. 59 4
