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1、解析几何总结第七章 直线和圆的方程【概念】一、直线的方程直线的倾斜角与斜率1. 直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.2. 直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k表示.说明：当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为；直线倾斜角的取值范围是；倾斜角是的直线没有斜率.3. 斜率公式：
2、经过两点、的直线的斜率公式：（x1x2）推导：设直线P1P2的倾斜角是,斜率是k，向量的方向是向上的（如图73（1）（2）.向量的坐标是.过原点作向量=，则点P的坐标是，而且直线OP的倾斜角也是.根据正切函数的定义， 即（x1x2）。 同样，当向量的方向向上时也有同样的结论.4. 斜率公式的形式特点及适用范围：斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用;当x1=x2,y1y2（即直线和x轴垂直）时，直线的
3、倾斜角等于，没有斜率.直线的方程1. 直线方程的点斜式:其中为直线上一点坐标, k为直线斜率.推导:若直线l经过点,且斜率为k，求l方程.设点 P(x,y)是直线上不同于点P1的任意一点,根据经过两点的直线的斜率公式,得,可化为.说明:这个方程是由直线上一点和斜率确定的;当直线l的倾斜角为0时,直线方程为;当直线倾斜角为90时,直线没有斜率,它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:.2. 直线方程的斜截式:说明:b为直线l在y轴上截距；斜截式方程可由过点（0，b）的点斜式方程得到；当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.3. 直线方程的两点式:其中是直线两点的坐标.推导:因为直线l经过点，并
4、且，所以它的斜率.代入点斜式,得,.当.4. 直线方程的截距式:,其中a,b分别为直线在x轴和y轴上截距.5. 直线方程的一般式: 其中A、B不同时为0.6. 直线和二元一次方程的关系在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x,y的二元一次方程.因为在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角,在90和=90两种情况下,直线的方程可分别写成及这两种形式.它们又都可变形为的形式,且A、B不同时为0.在平面直角坐标系中,任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线.因为x、y的二元一次方程的一般形式是,其中A、B不同时为0,在B0和B=0的两种情况下,一次方程可分别化成直线的斜截
5、式方程和表示与y轴平行或重合的直线方程.两条直线的位置关系1直线到的角两条直线和相交构成四个角,它们是两对对顶角,我们把直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的角,叫做到的角.在图713中,直线到的角是1, l2到的角是2.2直线到的夹角:如图713, 到的角是1, 到的角是-1,当与相交但不垂直时,和-仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线时,直线l1和l2的夹角是.说明:10,20,且1+2=3直线l1到l2的角的公式:.推导:设直线l1到l2的角，.如果如果,设l1、l2的倾斜角分别是1和2，则.由图（1）和图（2）分别可知于是.4直线l1和l2的夹角公式:.这一公式由夹
6、角定义可得.5两直线是否相交的判断:设两条直线的方程是如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组是否有唯一解.6在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P的直线l的距离呢?方案一:根据定义,点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长(如右图).设点P到直线l的垂线段为PQ,垂足为Q,由PQl可知直线PQ的斜率为,根据点斜式可写出直线PQ的方程,并由l与PQ的方程求出点Q的
7、坐标;由此根据两点距离公式求出,得到点P到直线l的距离d.师：此方法虽思路自然，但运算较繁. 下面介绍另一种求法.方案二:设A0,B0,这时l与x轴、y轴都相交,过点P作x轴的平行线,交l于点R(x1,y0);作y轴的平行线,交l于点S(x0,y2),由所以,由三角形面积公式可知:所以,.可证,当A=0或B=0时,以上公式仍适用,于是得到点到直线的距离公式: .二、圆的方程1圆的标准方程：其中圆心坐标为（a,b），半径为r推导：如图732，设M（x,y）是圆上任意一点，根据定义，点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为把式两边平方，得2圆的一般方程：
8、（0）3二元二次方程表示圆的充要条件：由二元二次方程的一般形式：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0和圆的一般方程的系数比较，启发学生归纳如下结论：（1）x2和y2的系数相同，且不等于0，即A=C0；（2）没有xy项，即B=0；（3）D2+E24AF0.4参数方程与普通方程：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即.并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程组就叫这条曲线的参数方程.其中t叫参变数，简称参数.相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫曲线的普通方程.说明：参数方程中的参数
9、可以有物理、几何意义，也可以没有明显意义.（1）圆的参数方程：圆心在原点，半径为r的圆的参数方程：推导：设圆O的圆心在原点，半径是r,圆O与x轴的正半轴的交点是P0（图736）设点在圆O上从点P0开始按逆时针方向运动到达点P，P0OP=，若点P坐标为（x,y）,根据三角函数的定义，可得 即圆心为(a,b)，半径为r的圆的参数方程： （为参数）推导：圆心为O1（a,b）、半径为r的圆可以看成由圆心为原点O、半径为r的圆按向量=（a,b）平移得到.即对于圆O上任意一点P1（x1,y1）,在圆O1上必有一点P（x,y），使因为，即（x,y）=(x1，y1)+（a,b）所以，由于点P1（x1,y1）在
10、以原点为圆心，r为半径的圆上，所以存在参数，使 所以.（2）圆的参数方程化普通方程：方程组 由得 xa=rcos 由得 yb=rsin 2+2得：（xa）2+(yb)2=r2即圆的普通方程.三、简单的线性规划1二元一次不等式表示平面区域:一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.说明:二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.推导:举例说明.2判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法:取特殊点检验;原因:
11、由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C0时,常取原点检验.3线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最
12、小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4线性规划在实际中的应用：例：要将两种大小不同的钢板截成、三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型规格规格规格第一种钢板第二种钢板今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则作出可行域（如右图）：（阴影部分）目标函数为z=x+y作出一组平行直线x+y=t,其中
13、经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A（），直线方程为x+y=.由于都不是整数，而最优解（x,y）中，x,y必须都是整数，可行域内点（）不是最优解.经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=12,经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们都是最优解.答:要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种:第一种截法是截第一种钢板3张.第二种钢板9张;第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张.两种方法都最少要截两种钢板共12张.【例题】例1：如右图，直线l1的倾斜角，直线、l2的斜率.解：例2：求经过A（2，0）、B
14、（5，3）两点的直线的斜率和倾斜角.解：，就是因此，这条直线的斜率是1，倾斜角是例3：已知三点A、B、C，且直线AB、AC的斜率相同，求证这三点在同一条直线上.证明：由直线的斜率相同，可知AB的倾斜角与AC的倾斜角相等，而两个角有共同的始边和顶点，所以终边AB与AC重合.因此A，B，C三点共线.例4：一条直线经过点P1(-2,3),倾斜角=45,求这条直线方程,并画出图形.解:这条直线经过点P1(-2,3),斜率是:.代入点斜式方程,得这就是所求的直线方程,图形如图中所示例5：已知直线l与x轴的交点为（a，0），与y轴的交点为（0，b），其中a0,b0,求直线l的方程.解:因为直线l经过A(a,0)和B(0,b)两点,将这两点的坐标代入两点式,得:例6：三角形的顶点是A(-5,0)、B（3，-3）、C（0，2）,求这个三角形三边所在直线的方程.解:直线AB过A(-5,0)、B（3，-3）两点，由两点式得整理得：，即直线AB的方程.直线BC过C(0,2),斜率是,由点斜式得:整理得:,即直线BC的方程.直线AC过A(-5,0),C(0,2)两点,由两点式得:整理得：，即直线AC的方程.例7：已知直线
