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1、函数的对称性与周期性【知识梳理】1. 周期的概念：设函数，如果存在非零常数，使得对任意都有 ，则函数为周期函数，T为的一个周期；2. 周期函数的其它形式 ； ； ； ； ， ， 3. 函数图像的对称性1）.若，则的图像关于直线 对称；2）.若，则的图像关于点 对称；3）若，则的图像关于直线 对称；4）若，则的图像关于直线 对称；5）若，则的图像关于点 对称；6）若，则的图像关于点 对称；4. 常见函数的对称性1）函数的图像关于点 对称；2）函数的图像关于直线 对称；3）函数的图像关于直线 对称；【例题选讲】题型一 根据解析式判断函数图像的对称性1. 函数的图像关于 对称；2. 函数的定义域为R
2、，且，则的图像关于 对称；3. 函数的图像关于 对称；4. 函数的图像关于直线 对称；关于点 对称；题型二 平移变换后，函数图像的对称性1.已知函数是偶函数，在递减，则( ) 2.已知是偶函数，则的图像关于 对称；3.已知是奇函数，则的图像关于 对称；题型三 函数图像的对称性求函数解析式1.已知的图像关于直线对称，且时，求时，的解析式；2.已知的图像关于点对称，且时，求时，的解析式；3.已知的图像关于点对称，且时，求时，的解析式；题型四 函数周期性和图像对称的应用1.若函数的图像关于点对称，求满足的关系；2.已知函数的定义域为，且对任意，都有(1)若有个根，求所有这些根的和；(2)若有个根，求
3、所有这些根的和；3.若有两条对称轴和，求证：是以为周期的周期函数；4.设是定义在上的偶函数，它的图像关于直线对称，当时，求时，的解析式；5.已知定义域为的函数满足，求证函数是周期函数；题型五 综合应用1设是定义在区间上以2为周期的函数，对于，用表示区间，已知当时，（1）求在上的解析式；（2）对自然数k，求集合使方程在上有两个不等实根。2已知定义在上的函数的图象关于直线对称，当时，函数。（1）求的值；（2）求的函数表达式；（3）如果关于的方程有解，那么将方程在取某一确定值时所求得所有解的和记为，求的所有可能取值及相对应的的取值范围。3已知函数（1）求证：函数的图像关于点对称； （2）计算：的值。
4、函数的对称性与周期性课后练习1.定义在R上的函数单调递增，如果的值A恒小于0B恒大于0C可能为0D可正可负2.已知函数满足：是偶函数；在上为增函数 若则与的大小关系是A B C= D与的大小关系不能确定3.已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，那使成立的x的集合为AB C D4.已知函数f(x)满足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，则f(2 010)_.5.若满足2x+=5, 满足2x+2(x1)=5, +（ ）A. B.3 C. D.46.设指数函数与对数函数的图象分别为C1、C2，点M在曲线C1上，线段OM（O为坐标原点）交曲线C1于另一点N若曲线C2上存在一
5、点P，使点P的横坐标与点M的纵坐标相等，点P的纵坐标是点N的横坐标的2倍，则点P的坐标是A.（4，） B. C. D.7.（1），则函数图像关于 对称；（2），则函数图像关于 对称；（3）若，则函数图像关于 对称8.（1）函数是奇函数，则函数图像关于 对称；（2）函数是奇函数，则函数图像关于 对称 9.定义在上的函数满足，且当时，则_10.若，则的周期性是： 11.（1）定义域是的奇函数又是周期为周期函数，则 ， （2）已知是定义在上的奇函数，且满足，则_；（3）若和都是定义域是的奇函数，则 12.定义域是的奇函数图像关于直线对称，当时，则当时，函数零点个数是 13.已知是R上的偶函数，是R上
6、的奇函数，且，若，则 14.（1）已知是定义域为的偶函数，且，当时，则 （2）设定义在上的函数满足，若，则 15.已知是以2为周期的偶函数，当时，那么在区间 内，关于的方程有5个不同的根，则实数的取值范围是 16.设是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且当2，0时，若在区间（2，6内关于x的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围为A.（1，2） B.（2，）C.（1，）D.（，2）17.函数和的零点分别是，求证答案4.已知函数f(x)满足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，则f(2 010)_.解析：f(1)，令y1得f(x)f(x1)f(x1)，即f(x1)f(x)f(x1)，f(x2)f(x1)f(x)，由得f(x2)f(x1)，即f(x3)f(x)，则f(x6)f(x)该函数周期为6.f(2 010)f(63350)f(0)令x1，y0得4f(1)f(0)f(1)f(1)，f(0).f(2 010).答案：5.若满足2x+=5, 满足2x+2(x1)=5, +A. B.3 C. D.4解析：由题意 所以, 即2 令2x172t,代入上式得72t2log2(2t2)22log2(t1) 52t2log2(t1)与式比较得tx2 于是2x172x2【答案】C16.D.1
