《空间角与距离知识点与题型归纳总结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间角与距离知识点与题型归纳总结（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、空间角与距离知识点与题型归纳总结知识点精讲一、空间角的定义和范围（1）两条异面直线所成角。的范围是（0,兰，当0=-时，这两条异面直线互相垂直。2 2（2）斜线AO与它在平面a内的射影AB所成角0叫做直线与平面所成的角。平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一直线所成角中最小的角，如果直线和平面垂直，那么直线与平面所成的角为一；如果直线和平面平行或直线在平面内，那么就是直线和2平面所成的角为0.直线和平面所成的角的范围为0,，；斜线和平面所成的角的范围为（0,叟）.2 2（3）从一条直线出发的两个半平面所组成的角叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，棱为
2、l，两个平面分别为a, B的二面角记做a -1 -B,二面角的范围是0,兀（4） 一个平面垂直于二面角的公共棱l，且与两个半平面的交线分别是射线OA，OB，则ZAOB叫做 二面角的平面角，平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面垂直。二、点到平面距离的定义点到平面的距离即点到它在平面内的正射影的距离。题型归纳及思路提示题型1空间角的计算思路提示求解空间角如异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角的平面角的大小；常用的方法有：（1）定义法；（2）选点平移法；（3）垂线法：（4）垂面法；（5）向量法。一、异面直线所成的角方法一：通过选点平移法将异面直线所成的角转化为共面相交的两直
3、线的夹角来求解，但要注意 两条异面直线所成角的范围是（0,寺。方法二：向量法，设异面直线a和b的方向向量为a和b，利用夹角余弦公式可求得a和b的夹角大小 a, 且 cos a = lcos 1=匕 。la II b I例859直三棱柱ABC - AC中，若ZBAC=90, AB=AC=笨，则异面直线BA1与Aq所成的角等 于（）A.30。B.45。C.60。D.90。分析通过选点平移法将异面直线所成的角转化为相交直线的夹角,在三角形中利用余弦定理来求解.图 8-218解析 如图8-218所示，连接AB，设AB AB = O，过点O作ODA ODAC交BC于点D，连接ii iii 1AD ,故Z
4、AOD (或其补角)为异面直线AB与AC所成的角,设 iiiiAB = AC = AA = a, AB = AC = AA = aii则ACi =2a,OD = 2ACi =甞,OAi =罟进 AD = 2BCi =罟，故AAiOD为正三角形,iOD = 60。，即异面直线Bai与ACi所成的角等于60，故选C.变式1如图8-219所示，在长方体ABCD ABCD 中,AB = AD = 1,AA = 2,M是棱CC的中点,iiii“求异面直线AiM和Ci Di所成的角的正切值.Db c图 8-219变式2如图8-220所示，在三棱柱ABC - A BC. 中, H是正方形AA B B的中心,
5、AA = 2血,C”丄平面AAi Bi B, CiH =虧,求异面直线AC与 Bi所成角的余弦值.图 8-220例8.60如图8-221所示,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD丄平面ABCD,且MD=NB=, E 为BC的中点，求异面直线NE与AM所成角的余弦值.分析利用向量法求解异面直线所成的角.解析 解法一：如图8 - 2 2 2所示，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz,依题意，得1D(0,0,0)A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),E(2，1,0),所以 NE = (-2,0, 1),AM = (1,0,1),=7T0
6、lo_, _, 1NE.AM 2因为 cos =-I NE II AM I 45 片所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为4010解法二：对几何体细心观察，正三棱锥B-AN的三条侧棱两两垂直，它分明是正方体的一角，从这个 视角出发，又联系到MD丄平面ABCD，ABCD又恰好是正方形（正方体的一个面），如此分析，应当想到 已知形体是正方体的一部分，于是“补全”正方体是合乎情理的。如图8 2 2 3所示，连接BQ，易知BQAM,设BQCNE=F，则上NFQ即为AM与NE所成的角， 在正方体 BC-QN 中，E 为 BC 中点，NQ = 1 ， 由 BEF s NQF， 从而cos ZNFQ = N
7、F 2 + FQ2-NQ2 =迺求。2 FN - FQ10变式1如图8 2 2 4所示，已知正方体ABCD - ABCD，点E是正方形BCCB的中心，点Giiii11是棱*的中点，设% Gi分别是E，G在平面DCCiDi内的正投影。求异面直线EiGi与EA所成角的正弦值。图 8-224变式2如图8-225所示，在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD是矩形，PA丄底面ABCD,E是PC的中点。已知AB=2AD=2弋2 ,PA=2.求异面直线BC与AE所成的角的大小.图 8-325二、直线与平面所成的角方法一：（垂线法）直线与平面所成的角就是直线与此直线在平面内的射影直线所成的角.过直线上一点 作
8、出平面的垂线，得到垂足，而射影直线就通过斜足与垂足，因此作出平面的垂线是必要的一步.具体步骤是： 先作出该角;在直角三角形中求解.方法二:（向量法）直线与平面所成的角为直线的方向向量与平面的法向量所成的锐角的余角如图8-226所示，设直线l的方向向量为l,平面a的法向量为n，直线l和平面a所成的角为0,则 兀兀兀ln+ e 二乂，或- 0 二片，因为 0 的取值范围是0，T，所以 sin 0 =lcos 1二 1.12122111 ll n l方法三：（点面距法）利用相关方法求出直线上一点到平面的距离d再求出此点与斜足间的距离l,设直线. d和平面所成角的大小为0,则sin 0 .例8.61如
9、图8-227所示,二面角a l 卩的大小是60，线段AB ua , B g l与l所成角为30,则AB与平面B所成的角的正弦值是.分析作出直线AB在平面B的射影，射影与AB所成的角即为AB与平面所成的角，再求出其正弦值.解析如图8-228所示，过点A作AH丄B于点H,过点H作GH丄l于点G,连接AG,由三垂线定理得l 丄AG,故ZAGH为二面角a l 卩的平面角，得ZAGH=60 ,不妨设AG=2,则AH= J亍,HG=1,又AB与2ahl所成角为30，故AB 4，在RtAABH中，sin ZABH ，故AB与平面B所成sin 30AB4的角的正弦值是3V图 8-227B I G图 8-228
10、变式1如图8-229所示，在棱长为2的正方体ABCD - ABCD中，点E是BC的中点求DE与平 1111 1面ABCD所成角的正切值.庄 8-229变式2如图8-230所示，在三棱锥V-ABC中，VC丄底面ABC,ACBC,点D是AB的中点，且AC=BC= 兀a，ZVDC= 0（0 e -） .当0变化时，求直线BC与平面VAB所成角的取值范围.B 8-230兀变式3如图8-231所示，在RtAAOB中，ZAOB=，斜边AB=4,RtAOC可以通过RtAOB以AO为6轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，动点D在斜边AB 上,求CD与平面AOB所成角正切的最大值.图 8-231三、二面
11、角的平面角求二面角的平面角的方法有：（1）根据定义，即在公共棱上取一点分别在两个半平面内作棱的垂线，两 条垂线所成的角即为二面角的平面角；（2）利用三垂线定理及其逆定理；（3）当二面角由两个等腰三角形 构成时，利用底边的额两条中线；（4）求正棱锥侧面夹角时利用三角形全等；（5）在直棱柱中求截面与底 面夹角时，用二面角的面积射影定理S二S Icos0 I，其中0为二面角的大小;（6）利用空间向量求解二面 射 斜角，转化为两个平面的法向量夹角，公共棱不明显的二面角常用此法来求，但应注意法向量ni , n2的夹 角与二面角e的大小是相等或互补的(需要根据具体情况判断想等或互补)。例8.62如图8-2
12、32所示，在直三棱柱ABC - ABC中，侧面ABC丄侧面A ABB 。若直线AC与平i i iii1面ABC所成的角为e,二面角A - BC - A的大小为9，是判断。与9的大小关系，并予以证明.ii分析 利用定义找出线面角与二面角的平面角，并比较其大小解析如图8-233所示，过A在平面A ABB内作AD丄AB于点D，则由平面ABC丄侧面A ABB，iiiiii且平面Q侧面A ABB = AB，得AD丄侧面ABC，连接CD,则知ZACD= 0，由 BC丄AA，BCLAD, AAii iiiiQAD=A, AA , AD u平面A AB，得BC丄平面A AB，故BC丄AB，BC丄AB .所以Z
13、 ABA是二面角iiiii2 a人. AD. ADA - BC - A的平面角，即ABA = 9，于是在RtADC中，sm0二，于是在RtADB中，sm9二 一iiACAB兀不难知 AB AC，因此 sin 0 sin 9，又 0 0,9 ,所以 0 0)。点 E 是 SD 上的点，且 DE=九 a (0 X 2)。设二面角C-AE-D的大小为0，直线BE与平面ABCD所成角为9，若tan 0. tan 9 = I，求九值。变式3如图8-236所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE丄AC, EFCC1 上的点CF=AB=2CEAC,AB = 2 ,CE二 EF 二 1，二
14、面角 A-BE-D 的大小.例863如图8-237所示，在长方体abCD-aibiCiDi中，E, F分别是BC,AB：AD： * = 1:2:4,求二面角 Ai - ED - F 的正弦值.AB EC 1 解析如图8-238所示，连接AC,设ACCDE=N，因为=,BC CD 2所以 RtADCERtACBA,从而 ZCDE=ZBCA,又由于 ZCDE+ZCED=90,故 ZBCA+ZCED=90故 AC丄DE,又 DE丄CF, ACHCF=C, 则DE丄平面CFN,得DE丄FN, 同理得丄AiN, 故ZA NF为二面角A - ED - F的平面角,1 1易知，RtACNERtACBA，所以-=-BC AC在 RtHCNF 中,NF = CF 2 + CN 2 =3,在 RtAA AN 中,1A1N IN 二字
