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1、高考数学最新资料第11讲变量间的相关关系与统计案例基础巩固1.下列两个变量之间的关系是相关关系的是() A.正方体的棱长与体积B.单位面积产量为常数时,土地面积与产量C.日照时间与水稻的亩产量D.电压一定时,电流与电阻答案:C解析:A,B,D中两个变量间的关系都是确定的,所以是函数关系,C中的两个变量间是相关关系,对于日照时间一定的水稻,仍可以有不同的亩产量.故选C.2.观察下列散点图,则正相关;负相关;不相关,它们的排列顺序与图形相对应的是()A.a,b,cB.a,b,cC.a,b,cD.a,b,c答案:D3.一位母亲记录了儿子39岁的身高,数据(略),由此建立的身高与年龄的回归模型为=7.
2、19x+73.93,用这个模型预测这个孩子10岁时的身高,正确的叙述是()A.身高一定是145.83 cm来源:数理化网B.身高在145.83 cm以上C.身高在145.83 cm左右D.身高在145.83 cm以下答案:C解析:用回归模型=7.19x+73.93,只能作预测,其结果不一定是个确定值.4.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)(n2,x1,x2,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为()A.-1B.0C.D.1答案:D解析:样本相关系数越接近1,相关性越强,现在所有的样本点
3、都在直线y=x+1上,样本的相关系数应为1.5.已知回归直线的斜率的估计值是1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线的方程是()A.=1.23x+4B.=1.23x+5C.=1.23x+0.08D.=0.08x+1.23答案:C解析:D显然错误,把(4,5)代入A,B,C检验,满足的只有C.6.已知x与y之间的几组数据如下表:x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=bx+a,则以下结论正确的是()A.b,aB.b,aC.aD.b,a=-2.7.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高
4、x(单位:cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是()A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(,)C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kgD.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg答案:D解析:D选项中,若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重约为0.85170-85.71=58.79 kg.故D不正确.8.下列说法:将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;设有一个回归方程=3-5x,变
5、量x增加一个单位时,y平均增加5个单位;回归直线方程=x+必过点(,).其中错误的个数是()A.0B.1C.2D.3答案:B解析:一组数据都加上或减去同一个常数,数据的平均数有变化,方差不变(方差是反映数据的波动程度的量),正确;回归方程中x的系数具备直线斜率的功能,对于回归直线方程=3-5x,当x增加一个单位时,y平均减少5个单位,错误;由线性回归方程的定义知,线性回归方程=x+必过点(,),正确.9.已知一个线性回归方程为=1.5x+45(xi1,7,5,13,19),则=.答案:58.5解析:线性回归方程为=1.5x+45,经过点(,),由=9,知=58.5.10.某单位为了了解用电量y
6、度与气温x 之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:气温()181310-1用电量(度)24343864由表中数据得线性回归方程=bx+a中b=-2,预测当气温为-4 时,用电量的度数约为.答案:68解析:=10,=40,回归方程过点(,),40=-210+a.a=60.=-2x+60,令x=-4.=(-2)(-4)+60=68.11.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:小时)与当天投篮命中率y之间的关系:时间x123来源:4来源:5命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为
7、;用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为.答案:0.50.53解析:平均命中率=(0.4+0.5+0.6+0.6+0.4)=0.5;而=3,(xi-)(yi-)=(-2)(-0.1)+(-1)0+00.1+10.1+2(-0.1)=0.1,(xi-)2=(-2)2+(-1)2+02+12+22=10,于是=0.01,=-=0.47,=0.01x+0.47,令x=6,得=0.53.12.一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,测得的数据如下:零件数x(个)102030405060708090100加工时间y(分)6268758189
8、95102108115122(1)y与x是否具有线性相关关系?(2)如果y与x具有线性相关关系,求回归直线方程.(3)根据求出的回归直线方程,预测加工200个零件所用的时间为多少?来源:解:(1)由表中数据,画出散点图如下:由散点图可知,x,y具有很好的线性相关关系.(2)设所求的回归直线方程为=x+,列出下表,i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi6201 3602 2503 2404 4505 7007 1408 64010 35012 200=55,=91.7,=38 500,xiyi=55 95
9、0,则有=0.668,=-=91.7-0.66855=54.96.因此,所求的回归直线方程为=0.668x+54.96.(3)当x=200时,y的估计值为=0.668200+54.96=188.56189,因此,加工200个零件所用的工时约为189分钟.13.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x()1011131286就诊人数y222529261612该兴趣小组确定的研究方案是:先从这6组数据中选取2
10、组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率;(2)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程=bx+a;(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?解:(1)设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的.其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种,所以P(A)=.(2)由数据求得=11,=24,由公式求得=,=-=-,所以y关于x的线性回
11、归方程为=x-.(3)当x=10时,=,2;同样,当x=6时,=,2.所以,该小组所得线性回归方程是理想的.拓展延伸14.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程= x+;(3)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?解:(1)由题设所给数据,可得散点图如图所示.(2)由对照数据,计算得=86,=4.5(吨),=3.5(吨).已知xiyi=66.5,所以,由最小二乘法确定的回归方程的系数为=0.7,=- =3.5-0.74.5=0.35.因此,所求的线性回归方程为=0.7x+0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为90-(0.7100+0.35)=19.65(吨标准煤).
