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1、第二章曲面论第十三节曲面上的高斯映射高斯曲率的几何意义曲面的第三基本形式Gauss映射曲面的Gauss映射(或称为球面表示)是曲面上的点到单位球面S上点的映射，具体叙述如下。定义在曲面：rr(u,v),的的任一点P(u,v)处,作出单位法向量n(u,v)，并平行移动。n(u,v)，使它的始点与原点O重合，那么，n的终点就落到以O为球心的单位球面S上，从而得到一点p,我们称从到S的这一映射:PP为曲面的高斯映射是把整个曲面映射到单位球面上的，曲面在球面上的象是S上的一个点集。若已知曲面的方程为rr(u,v)，那么，在高斯映射下的球面象的方程为n(u,v)，nrUrur；即IIrUr；|，EGF2
2、。上式即为高斯映射的向量表示式。例1、求球面r(asincos,asinsin,acos)的高斯映射下的球面象。解n(X,-,)(sincos,sinsin,cos)oaaa例2、求正螺面r(ucosv,usinv,av)的高斯映射下的球面象。解rU(cosv,sinv,0),rv(usinv,ucosv,a),rurv(asinv,acosv,u)I-rruv_lirurv|-(asinv,acosv,u)。曲面与球面象的关系曲面的咼斯映射不一定是上的点到单位球面S上的点的一一映射。例如设是一柱面，其方程是ra(s)vtb，*rsa(s)，r；b，的球面象的方程为卜二E匚a(s)b。nllr
3、srv|a(s)b|，这是单位球面s上一条曲线。对于柱面上任意两点tor1a(q)VA),6a(s()Vzb,它们的球面象都是点Knag)g1iiag)mu所以曲面的高斯映射不一定是一一映射。例如若曲面是一平面，其球面象是一个点。若曲面是一可展曲面，可证明它的球面象是一条曲线。定理如果曲面是一般的可展曲面，则的球面象是一条曲线。证明若是一可展曲面，它或者为柱面，或者为锥面，或者为切线曲面，仅有这三种情况，下面分别讨论。定理2如果曲面没有抛物点，则它上面每一点p与其球面象p是对应的。证明如果曲面上没有抛物点，则它上面的点和球面上的点是一一对应的。证设给出的曲面:rr(u,v),(u,v)d上的点
4、r(u,v)与(u,v)D内的点一一一对应，其球面像上的点为n(u,v),由于nv(rurj,k，EGF所以|nUnvilIIllrUrvII|LNM2|EGF2当曲面上没有抛物点时，LNM20,则nunv0，说明球面像上的点n(u,v)与区域D内的点对应，因此曲面上的点与球面像上的点对应。在一般情况下,高斯映射不是等角映射(或称共形映射)，当然更不是等距映射定理当且仅当曲面是球面或者是极小曲面时，曲面的咼斯映射是等角映射。(本定理及其证明参看吴大任：微分几何，第6版,人民教育出版社，1961,210.)高斯曲率的几何意义曲面上的面积微元为d|Grv|dudv.EGF2dudv,曲面的球面象曲
5、面上的面积微元为d|血nv|dudv,由于rurv是曲面上的法向量,nun；是S上的法向量，因为对应的法线互相平行，所以nnv(rurv),为确定因子，两边点乘即(nunv)(rurV)(rurv)(rurv),利用Lagrange恒等式(ab)(cd)得到rviirur,(EGF2),LN由此得(EGF2),LNM2EGF2nvK(ruQ,nv|K|rurv|,|九nv|dudv|K|rur；|dudv于是nulln|K|d,|K|。曲面的第三基本形式在曲面:rr(u,v)上任取一条曲线：rr(u(t),v(t)，则在曲面的球面表示曲面上得到对*应的一条曲线：nn(u(t),v(t)。dnd
6、t-u(t)unv(t)vdnnuu(t)dtnvv(t)dt,弧长微分是*2(ds)dndn(nUu(t)dtnvv(t)dt)仇口(t)dtnvv(t)dt)h*liOIhikOOnu(u(t)2nunvu(t)v(t)%nv(v(t)(dt)b-b-b-b-b-令enunu,fnunv,gnv%，则有(ds*)2|dne(u(t)22fu(t)v(t)g(v(t)2(dt)2也可以写为(ds*)2|dn|fe(du)22fdudvg(dv)2，称它为曲面的第三基本形式，用表示：e(du)22fdudvg(dv)2,其中e,仁g称为曲面的第三类基本量。以下证明第三基本形式可以用第一和第二基
7、本形式来表示。选取曲面坐标曲线网。上的正交曲线族为Frurv0E(du)2G(dv)2，L(du)22MdudvN(dv)2，LNEG，LGNE2EG，因为nn1,所以nnu0,n山0，从而九山山共面，门儿血共面，设nu玄2匚，则有冃占厶设nVbibb2V,则有bi于是f22ffenunuai山山a?rrv2222L2GM2EL2GLNELNEM2EcL2HLKEEGEGfnun；,印山azbzgrvLGMNEMEG2HM,22gn；n；bi4匚b?r；r；2222MGNELGNNELNGMG,2HNKGEGEG代入第三基本形式，可得到2HK。因为这三个基本形式与H,K都跟坐标曲线的选取无关，所以这个关系式对于曲面的任何坐标都成立。这样我们证明了曲面的第三基本形式可以用第一和第二基本形式来表示。
