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1、三角恒等变换专题复习教学目标：兀1、能利用单位圆中的三角函数线推导出-a,Ka的正弦、余弦、正切的诱导公式；.19 H SUL A2、理解同角三角函数的基本关系式：匚OSZ3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题。教学重难点：可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题【基础知识】一、同角的三大关系：sin acos a 倒数关系tana ?cota =1 商数关系=tana ；= cotacos asin a 平方关系sin2 a + cos2 a = 1温馨提示：(1) 求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。来 源:学+科+网(2) 利用
2、上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍吐”号。二、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限k兀,用诱导公式化简，一般先把角化成+ a, k ez的形式，然后利用诱导公式的口诀化简(如果前面的角是90度的奇数倍，就是“奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把a看作是锐角，判k兀断角 三+a在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是“+”还是“-”，就加在前面)。用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间(O0,36Oo)的角，再变到区间(Oo,18Oo)的角，再变到区间(Oo,9Oo)的角计算。三、和角与差角公式：sin(a P) = sin a co
3、s P cos a sin P ； cos(a P) = cos a cos P + sin a sin P ；变 用 tan a 土 tan P =tan (a p )(1 tan a tan P )四、二倍角公式：sin 2a = 2sin a cos a .cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2cos 2 a -1 = 1 - 2sin 2 a .五、注意这些公式的来弄去脉这些公式都可以由公式cos(a P) = cos a cos P干sin a sin P推导出来。六、注意公式的顺用、逆用、变用。sin a cos a = sin 2a2如：逆用 sin a cos
4、 P cos a sin P = sin(aB)变用 cos2 a =1 + cos 2a.1 - cos 2asin 2 a =2小小1 + cos 4acos2 2a = 一2一次方啲 y = Asin(ex + q) + B形式。七、合一变形（辅助角公式）把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角,A sin a +B cos a =、：A2 + B2 sin (a+q)，其中 tan 申=A八、万能公式a九、用 sin a , cos a 表示tan 2十、积化和差与和差化积积化和差 sin a cos P = sin(a + P) + sin(a 一 P)；cos a sin
5、P = sin(a + P) - sin(a - P)；cos a cos P = cos(a + P) + cos(a - P)；sin a sin P = cos(a + P) - cos(a - P).0 + q0 - q和差化积 sin 0 + sin q = 2sin cos 22卜一、方法总结1、三角恒等变换方法观察（角、名、式）f三变（变角、变名、变式）（1） “变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线,a+B女口 |a=(a+B)_ B=(a_ B)+j, 2a=(a+B)+ (a_B)，2a=(B+a)(Ba)，a+B=2？B a ，”2 = (a2) (2 B)
6、等.a+Bcos asin a（2） “变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦tana =,cota= cos asin a（3）“变式指的是利用升幕公式和降幕公式升幕降幕，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和 合并等口 ZT 等 2、恒等式的证明方法灵活多样 从一边开始直接推证，得到另一边，一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法, 即由繁到简. 左右归一法，即将所证恒等式左、右两边同时推导变形，直接推得左右两边都等于同一个式子.左 比较法，即设法证明：咗边一右边=0或”右=1; 分析法，从被证的等式出发，逐步探求使等式成立的充分条件，一直推到已知条件或显然成立的结论成
7、立为止，则可以判断原等式成立.例题精讲】例1已知a为第四象限角，化简:1 一 sin a .1 一 cos acos a+ sin a1 + sin a1 + cos a解：（1）因为a为第四象限角i(1 - sin a)： 所以原式=cos a1 - sin 2 a2.(1 - cos a )2+ sin a1 - cos2a例2已知270。a 360，化简1141心+ cos 2a2 2*2 2解：a/ 270 a 0, cos 02所以原式=+ cos2a2,111 + cos a飞2+2 0，且 cos a sin a _ 0，故?在第二象限于是 sin a -555.74从而 cos
8、 ex sin ex 一 一 55小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系(均含x )进行转换得到.2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形.例5已知A,B,C为锐角AABC的三个内角，两向量p (2-2sin A,cos A + sin A)，以下同解法q (sin A - cos A, 1 + sin A)，若 p 与 q 是共线向量.(1)求A的大小;C 一 3 B(2)求函数y 2sin2B + cos(亍)取最大值时，B的大小.解：(1) T p / q/. 2(1 sinA)(1+sinA
9、) sin2A-cos2A2cos2A + cos2A = 0.l + 2cosA = 0:. cos2A 二一 / 02A 兀,2(2) t A=6Oo . B+C=120oy=2sin2B+cos(60o 2B) 1 cos2B+cos2B +sin2B2 2= fsin2B 1cos2B+1=sin(2B 一?)+1， 当 2B -时，即 B二冬.226623小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意例6设关于x的方程sinx+吋3 cosx+a=0在(0, 2n)内有相异二解a、B.(1)求a的取值范围； 求tan(a + B)的值.1 3兀兀 a解：(1) J sinx+
10、 壬3 cosx=2( sinx cosx) =2 sin(x+ ),方程化为 sin(x+ )=.2 233方程 sinx+ 3 cosx+a=0 在(0, 2 n )内有相异二解，Asin(x+ 韦)Hsin善=耳兀3, aaJ3,又 sin(x+ )H1 (： 当等于 和1 时仅有一解)，/. | 2 11 -且一2 丰 即|a|2 且 aH丫3 .a的取值范围是(一2, 3 )U (打,2).(2) Ta、B是方程的相异解,IfAsina + 3 cos a +a=0. sinB+ 3 cos B +a=0.一得(sina sinB) + f3 (a Ba + Bsin 一 =0,又
11、sin 一 H0,2 2a-卩 a+B 3 .a+卩cosa cosB ) =0. 2sincos一2百3 sin一2 2 2a + B2 tan一a + BJ3厂2 tan=. tan( a + B) =232 t 一a+B2 tan 2小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记（0, 2n）这一条件.例7已知函数f（x）=g叮cos x在区间f0, +丿上单调递减，试求实数m的取值范围.l 2丿解：已知条件实际上给出了一个在区间10,弓丿上恒成立的不等式.l 2丿”()()m 一 2sin x m 一 2sin x，且x 1212cosx1cos X2恒成立. 化简得m(cosx -cosx2 :) 2sin (x - x )112门n由O x x 可知:1 2 2门2sin (x - x )cos x - cos x 0，所以 m 122 -cos x 一 cos X2 1上式恒成立的条件为:在区间:0上丿l 2丿上的最小值.2sin (x1,cos x - cos x 2 1-x )22sin (x - x )由
