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1、第5章哈密顿原理如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判别准则以区分真实运动和可能的运动。哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间的位形轨迹加以比较，而哈密顿作用量S是对不同的位形轨线取不同值的泛函，从而得到对真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系，开拓了应用前景；由动力学普遍方程对时间积分，导出一个重要的力学变分原理哈密顿原理，提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则；对于有限过程，提供了一种动力学问题的直接近似解法。5.1 哈密顿正则方程哈密顿正则方程是分析力学
2、中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是2n个一阶常微分方程组。我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题是研究这个微分方程组的积分，但是求解往往是很困难的。哈密顿正则方程的重要性在于它将n个二阶微分方程变换为2n个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了有利条件。若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用，则哈密顿正则方程对分析力学中的积分理论起着基础的和推动的作用。哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性研究中，并不需要求解微分方程组，而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方法求解。5.1.1 正则方程的建立对于主动力均有势的k个自由度的完整
3、约束系统，其拉格朗日方程为(5-1)引入广义动量(5-2)代入式(5-1)，有(5-3)设拉格朗日函数L满足条件于是，可由式(5-2)反解出(5-4)式(5-3)和式(5-4)就把方程(5-1)由k个二阶微分方程化为2k个一阶微分方程，其中方程组(5-4)并非正则形式。引入哈密顿函数(5-5)按照Legendre变换规则，将变换成，而qi和t仍然保持不变，则有(5-6)(5-7)(5-8)将式(5-7)代入式(5-3)，并与式(5-6)联立，得(5-9)这就是哈密顿正则方程，是以广义坐标和广义动量为独立变量的2k个一阶常微分方程。哈密顿正则方程是关于两类变量qj和pj的对偶方程，给出了一种对称
4、的数学结构体系，不但可推广应用到力学的各个领域，还可拓展到物理学的其他领域。5.1.2 正则方程的积分正则方程也有循环积分和能量积分。由式(5-5)可见，如果中不显含某广义坐标qa，则中也不显含该广义坐标qa。因此，循环坐标可定义为不显含于函数H或L之中的广义坐标。若qa为循环坐标，则有，由式(5-9)知，从而有循环积分（常量）(5-10)同样，当H中不显含时间变量t时，有，于是将式(5-9)代入上式，得，因此，有能量积分，HC（常量）。注意到定常系统中动能T为广义速度的二次齐次函数，有（常量）(5-11)对于定常系统，这意味着机械能守恒；对于非定常系统，则意味着广义能量守恒。例5-1 试写出
5、图5-1中球面摆的正则方程及其首次积分。已知球面摆摆长为l，摆锤质量为m。解：取图5-1所示的角q、j为广义坐标，A为重力势能的零位置，则系统的拉格朗日函数为广义动量分别为解得按定义式(5-5)，系统的哈密顿函数为图5-1正则方程(5-9)成为故循环积分为（常量）能量积分为HC（常量）即注意：由于系统是定常的，上式也可直接由式(5-11)写出。5.2 哈密顿原理由动力学普遍方程积分，导出一个哈密顿原理，因此哈密顿原理是在任一有限的时间间隔中区分真实运动与可能运动的准则，是积分原理。高斯原理又称最小拘束原理，是在任一瞬时通过真实运动与可能运动的加速度不同进行比较而得到的判别准则，是微分原理。为了
6、方便，将真实运动在位形空间中的轨线称为正路，对约束允许的可能发生的运动在位形空间的轨线称为旁路。作以下规定：在瞬时t0，正路与旁路都通过A点，在瞬时t1又都通过B点。现在由动力学普遍方程推导哈密顿原理。对于质点系（n个质点）的真实运动，满足动力学普遍方程将上式沿着位形空间中的正路自t0至t1对时间t积分：(5-12)对于完整系统，当dt = 0，有微分变分对易法则，则代入式（5-12）中，有注意到在上式中又，于是(5-13)上式是在任意作用力下的哈密顿原理。若主动力有势，势能函数为V，则式中L为拉格朗日函数，上式可写成(5-14)这是在保守力作用下的哈密顿原理。我们称为哈密顿作用量。它是依赖于
7、可能运动的泛函，即(5-15)于是式（5-14）可以表达为dS = 0(5-16)这就是势力场完整系统的哈密顿原理：对于完整系统，若主动力有势，在相同的时间、相同的起迄位置的条件下，在所有为约束允许的可能运动中，真实运动使哈密顿作用量具有极值，或者说，正路与旁路相比，沿正路的哈密顿作用量的变分为零。 5.3 哈密顿原理的应用哈密顿原理可以表述为：沿着正路的哈密顿作用量与沿着旁路的哈密顿作用量相比较，前者具有极值，如式（5-14）所表达。应该注意的是式（5-14）只是在完整系统且主动力有势的条件下成立。对于在任意力作用下的完整系统，哈密顿原理有式（5-13）的形式，但不具有极值条件。哈密顿原理只
8、涉及到系统的两个动力学函数，即动能和势能。对于这两个表达系统状态的整体性函数，没有规定必须用多少坐标（有限个参数或无限个参数）来表达。因此，哈密顿原理不但适用于有限多自由度系统，也适用于连续系统。哈密顿原理比拉格朗日方程更有普遍意义的原因就在于此。将哈密顿原理应用到连续体时，只要写出连续体的动能和势能就可以求解。更广泛地说，哈密顿原理提供了动力学问题的直接解法，可以回避运动微分方程的建立而直接求得系统动力学问题的数值解，就是说，将变分学中的里兹直接法应用于动力学中。具体的方法如下：对于，边界条件（端点条件）为(5-17)首先构造函数(5-18)式中ajk是待定常数，fjk是选择的适当的函数，函
9、数应满足式（5-17）的边界条件。给常数ajk不同值得到不同的可能运动。将式（5-18）表达的代入哈密顿作用量S中，则S是ajk的函数，然后选择ajk使S达到极值，也就是由来确定ajk,，这是线性代数方程组，可以应用各种方法求解。最后，将求得的ajk代入式（5-18）中就得到系统的近似解。应用哈密顿原理可以建立动力系统的运动微分方程；也可直接求解动力学问题。例5-2 试用哈密顿原理推导拉格朗日方程。解：考虑一个所受主动力均有势的完整系统，设其有k个自由度，广义坐标为q1，qk，拉格朗日函数为，由哈密顿原理得又因（始末位置相同），故上式中，于是，有由于完整系统各的独立性和任意性，故这就是势力场中
10、第二类拉格朗日方程。例5-3 试用哈密顿原理建立图5-2所示末端有集中质量的悬链振动微分方程。解：设悬挂点O不动，而链的末端N附有质量m。坐标xa处的M点在运动中达到M点，假设悬链是匀质不可伸长和柔软的，M点的位移记作，而集中质量N的位移记作，这里l是链子的长度，设M点的笛卡尔坐标为（x、y），则有(1)固定时间t，式(1)表示以a为变量（0 a l）的曲线参数方程，如图18-5中的曲线c，根据不可伸长的约束条件，得到由此推出(1)图5-2用分别表示横向位移及其对a和对t的偏导数，并且限于讨论偏离铅垂位置的微振动。若将横向运动量看作一阶小量，则由公式(1)看出，是二阶小量，在略去四阶小量后，式
11、(1)简化为(2)系统动能精确到二阶小量为(3)式中，r是悬链线密度。若以O为零势能位置重力势能为(4)式中，xC是链子的质心坐标；xN是集中质量的坐标。根据质心公式，有而若以悬链静平衡为零势能状态，则系统的重力势能为(5)令其中，m是集中质量与链的质量比，则系统的拉格朗日函数由式(3)和(5)得哈密顿作用量为(6)边界条件是由哈密顿原理，并经分部积分运算，得到(7)由式(7)得悬链的运动微分方程和在末端的边界条件（自然条件）哈密顿原理只涉及到系统的状态函数，如系统的总动能和总势能，不涉及用多少个广义坐标来表达，因此，哈密顿原理不仅能用于离散系统（有限自由度系统），而且能用于连续系统（无限自由
12、度系统），这是哈密顿原理的优点之一。哈密顿原理作为一个变分原理，能用变分学的方法提供动力学问题的直接近似解法，如里兹法、伽辽金法等。哈密顿原理比拉格朗日方程更具有概括性，只有一个泛函极值就可表示完整保守系统的运动规律；例5-4 试应用哈密顿原理求解悬挂在弹簧上的单摆的运动微分方程。解：系统的拉格朗日函数为式中的r0为弹簧的初始长度。哈密顿作用量S为根据哈密顿原理，有 dS = 0图5-3由于代入前式中，得到在瞬时t0，t1，有dr = dq = 0，于是上式中第二个积分等于零，由于dr和dq 是彼此独立的，则有弹簧单摆的运动微分方程：图5-4例5-5 质量为m、半径为r的粗糙圆柱体在一空心圆柱
13、体内的表面上作纯滚动。这空心圆柱体的质量为M；半径为R，可绕中心水平轴O转动。两圆柱体均系均质。试用哈密顿原理写出系统的运动微分方程。解：系统有两个自由度。取空心圆柱体的转角q和两柱心连线的转角j为广义坐标。设小圆柱体的角速度为w。系统的动能为系统的势能为拉格朗日函数为根据哈密顿原理，整理后，又，代入前式中，得到在瞬时t0，t1，有dr = dq = 0，于是上式中的后四项为零，由于t0，t1是任意的，所以被积函数应为零，且dq和dj是彼此独立的，于是我们得到哈密顿原理可用来推导各种形式的弹性结构（杆及杆系、板、壳）的运动微分方程及求动力响应的近似解。例5-6 试建立二端固定而绷紧的均质弦的微
14、幅振动动力学方程。解：这是一个无限多自由度系统。将哈密顿原理应用于这个连续体系统，主要的是写出此连续体的动能和势能，建立哈密顿作用量后求其极值即可得到系统的动力学方程。设弦长为l，张力为F，单位长度的质量为r。弦在振动时有二个方向的位移，这里只考虑横向位移，略去纵向位移。图5-5对于任一瞬时，分析弦的dx段，其质量为dm=rdx，横向位移u是x和t的函数u=u(x，t)，速度为，动能为弦的动能为就弹性弦来讲，势能为内力的功；dx段的弧长dl为伸长量dldx为由于伸长量较小，展开根式并略去高阶微量，得到题给出弦是绷紧的，振动为微幅，则张力变化极小，可视张力F为常量，这样，dx段的功为弦的势能为于是得到哈密顿作用量S对于正路，哈密顿作用量S的变分为零，即dS = 0，则首先作第一项对t的积分，利用分部积分公式第二项对x积分代回原式有由于du任意取值，有上式是所寻求的弦的微振动微分方程。例2-5 已知单自由度谐振子的拉格朗日函数为求满足以下端点条件的近似解。解：以此为我们所熟悉而简单的谐振子问题为例，回避运动微分方程的建立，应用哈密顿原理直接求得系统运动的数值解，即变分问题的直接解法中的里兹法。构造一个函数x(t)作为系统运动的近似解：a为待定常数
