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1、3.3 函数极限存在的条件3 函数极限存在的条件. 教学目的与要求掌握函数极限存在的归结原则、柯西(Cauchy)收敛准则，并会利用它们求极限、证明相关命题. 掌握函数单侧极限存在的单调有界定理并会利用其求极限、证明相关命题. 教学重点与难点:重点: 归结原则、柯西(Cauchy)收敛准则. 难点: 归结原则、柯西(Cauchy)收敛准则的证明及应用. 讲授内容 与讨论数列极限存在的条件一样，我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性下面的定理只对.这种类型的函数极进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的下述归结原则有时称为海涅(Heine)定理 定理38(归结原则) 设在内有定义存
2、在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等 证 必要性 设=则对任给的，存在正数，使得当时，有. 另一方面，设数列且，则对上述的，存在，使得当时有，从而有 这就证明了. 充分性 设对任何数列且，有，则可用反证法推出事实上，倘若当时不以为极限，则存在某，对任何 (不论多么小)，总存在一点，尽管，但有 (1习题2)现依次取，则存在相应的点，使得显然数列且，但当时不趋于这与假设相矛盾，所以必有.注1 归结原则也可简述为：对任何注2 若可找到一个以为极限的,使不存在,或找到两个都以为极限的数列与，使与都存在而不相等，则不存在例1 证明极限不存在证 设则显然有故由归结原则即得结论 函数
3、上的图象如图34所示，由图象可见，当时，其函数值无限次地在1与1的范围内振荡，而不趋于任何确定的数 归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理从而，我们能应用归结原则和数列极限的有关性质，来证明上一节中所述的函数极限的所有性质 对于和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式现以这种类型为例阐述如下： 定理3.9 设函数在点的某空心右邻域有定义 的充要条件是：对任何以为极限的递减数列，有. 这个定理的证明可仿照定理38进行，但在运用反证法证明充分性时，对的取法要作适当的修改，以保证所找到的数列能递减地趋于证明的细节留给学生作为练习 相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四
4、类单侧极限也有相应的定理现以这种类型为例叙述如下： 定理310 设为定义在上的单调有界函数，则右极限存在 证 不妨设在上递增因在上有界，由确界原理，存在，记为下证 事实上，任给，按下确界定义，存在，使得取，则由的递增性，对一切，有另一方面，由，更有从而对一切有，这就证得 最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则 定理311(柯西准则) 设函数在内有定义.存在的充要条件是:任给,存在正数,使得对任何有.证 必要性 设，则对任给的,存在正数,使得对任何有.于是对任何有.充分性 设数列且.按假设，对任给的，存在正数，使得对任何，有由于，对上述的，存在，使得当时有，从而有于是，按数列的柯西收敛准则，数列的极限存在，记为，即 设另一数列且，则如上所证，存在，记为现证为此，考虑数列易见且 (见第二章1例7)故仍如上面所证， 也收敛于是，作为的两个子列，与 必有相同的极限所以由归结原则推得。 按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限不存在的充要条件：存 在，对任何 (无论多么小)，总可找到，使得如在例1中我们可取对任何设正整数n令则有，而 于是按柯西准则，极限不存在. 小结与提问:本节要求理解掌握函数单侧极限存在的单调有界定理、函数极限存在的归结原则、柯西(Cauchy)收敛准则，并会利用它们求极限、证明相关命题. 课外作业: 2、 3、4、5、7、8.
